设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点为A,椭圆C上两点P,Q在x轴上的射影分别为左焦点F1和右焦点F2,直线PQ的斜率为32,过点A且与AF1
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设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点为A,椭圆C上两点P,Q在x轴上的射影分别为左焦点F1和右焦点F2,直线PQ的斜率为32,过点A且与AF1
题型:湖南模拟
难度:
来源:
设椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的上顶点为A,椭圆C上两点P,Q在x轴上的射影分别为左焦点F
1
和右焦点F
2
,直线PQ的斜率为
3
2
,过点A且与AF
1
垂直的直线与x轴交于点B,△AF
1
B的外接圆为圆M.
(1)求椭圆的离心率;
(2)直线
l:3x+4y+
1
4
a
2
=0
与圆M相交于E,F两点,且
ME
•
MF
=-
1
2
a
2
,求椭圆方程;
(3)设点N(0,3)在椭圆C内部,若椭圆C上的点到点N的最远距离不大于
6
2
,求椭圆C的短轴长的取值范围.
答案
(1)由条件可知
P(-c,-
b
2
a
),Q(c,
b
2
a
)
因为
k
PQ
=
3
2
,所以
e=
1
2
(4分)
(2)由(1)可知,
a=2c,b=
3
c
所以
A(0,
3
c),
F
1
(-c,0),B(3c,0)
从而M(c,0).半径为a,
因为
ME
•
MF
=-
1
2
a
2
,
所以∠EMF=120°,可得:M到直线l的距离为
a
2
.
所以c=2,所以椭圆方程为
x
2
16
+
y
2
12
=1
.(8分)
(3)因为点N在椭圆内部,
所以b>3.(9分)
设椭圆上任意一点为K(x,y),
则
K
N
2
=
x
2
+(y-3
)
2
≤(6
2
)
2
.
由条件可以整理得:y
2
+18y-4b
2
+189≥0
对任意y∈[-b,b](b>3)恒成立,
所以有:
-9≤-b
(-b
)
2
+18(-b)-4
b
2
+189≥0
或者
-9>-b
(-9
)
2
+18×(-9)-4
b
2
+189≥0
解之得:
2b∈(6,12
2
-6]
(13分)
举一反三
曲线C是点M到定点F(2,0)的距离与到直线x=3距离之比为
6
3
的轨迹.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)设F,F"为曲线C的两个焦点,直线l过点F且与曲线C交于A,B两点,求|F"A|•|F"B|的最大值.
题型:不详
难度:
|
查看答案
椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)的一个焦点F
1
(-2,0),右准线方程x=8.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若M为右准线上一点,A为椭圆C的左顶点,连接AM交椭圆于点P,求
PM
AP
的取值范围;
(3)圆x
2
+(y-t)
2
=1上任一点为D,曲线C上任一点为E,如果线段DE长的最大值为
2
5
+1
,求t的值.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如果方程
x
2
k-2
+
y
2
3-k
=1
表示椭圆,则k的取值范围是______.
题型:不详
难度:
|
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抛物线的顶点在原点,它的准线过椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的一个焦点F
1
且垂直于椭圆的长轴,又抛物线 与椭圆的一个交点是M
(
2
3
,
2
6
3
)
,求抛物线与椭圆的标准方程.
题型:不详
难度:
|
查看答案
把椭圆
x
2
25
+
y
2
9
=1
绕左焦点按顺时针方向旋转90°,则所得椭圆的准线方程为______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
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