设抛物线C1:y2=4mx(m>0)的准线与x轴交于点F1,焦点为F2;椭圆C2以F1、F2为焦点,离心率e=12.(I)(文科做)当m=1时,①求椭圆C2的标
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设抛物线C1:y2=4mx(m>0)的准线与x轴交于点F1,焦点为F2;椭圆C2以F1、F2为焦点,离心率e=12.(I)(文科做)当m=1时,①求椭圆C2的标
题型:不详
难度:
来源:
设抛物线C
1
:y
2
=4mx(m>0)的准线与x轴交于点F
1
,焦点为F
2
;椭圆C
2
以F
1
、F
2
为焦点,离心率
e=
1
2
.
(I)(文科做)当m=1时,
①求椭圆C
2
的标准方程;
②若直线l与抛物线交于A、B两点,且线段AB恰好被点P(3,2)平分,设直线l与椭圆C
2
交于M、N两点,求线段MN的长;
(II)(仅理科做)设抛物线C
1
与椭圆C
2
的一个交点为Q,是否存在实数m,,使得△QF
1
F
2
的边长是连续的自然数?若存在,求出这样的实数m的值;若不存在,请说明理由.
答案
(I)①∵c
1
:y
2
=4mx的右焦点F
2
(m,0)∴椭圆的半焦距c=m,
又
e=
1
2
,∴椭圆的长半轴的长a=2m,短半轴的长
b=
3
m
.
椭圆方程为
x
2
4
m
2
+
y
2
3
m
2
=1
,
∴当m=1时,故椭圆方程为
x
2
4
+
y
2
3
=1
.
②由题意得,若x=3,则y=±2
3
,线段AB不可能被点P(3,2)平分,
∴直线l的斜率k一定存在,不妨设直线l的方程为:y-2=k(x-3),A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
由
y
2
=4x
y-2=k(x-3)
得ky
2
-4y-12k+8=0,
∴y
1
+y
2
=
4
k
=4,∴k=1,
∴直线l的方程为:y-2=x-3,即y=x-1.
(II)假设存在满足条件的实数m,
由
y
2
=4mx
x
2
4
m
2
+
y
2
3
m
2
=1
,解得:
Q(
2
3
m,
8
3
m)
,
∴
|Q
F
2
|=
2
3
m+m=
5
3
m
,
|Q
F
1
|=4m-|Q
F
2
|=
7
3
m
,又
|
F
1
F
2
|=2m=
6
3
m
.
即△QF
1
F
2
的边长分别是
5
3
m
、
6
3
m
、
7
3
m
.
∵
6m
3
-
5m
3
=
7m
3
-
6m
3
=1
∴m=3,
故存在实数m使△PF
1
F
2
的边长是连续的自然数.
举一反三
焦点坐标为
(-
3
,0)
,
(
3
,0)
,并且经过点(2,1)的椭圆的标准方程______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的离心率
e=
3
2
,原点到过A(a,0),B(0,-b)两点的直线的距离是
4
5
5
.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知直线y=kx+1(k≠0)交椭圆于不同的两点E,F,且E,F都在以B为圆心的圆上,求k的取值范围.
题型:东城区二模
难度:
|
查看答案
已知直线y=-x+1与椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
相交于A、B两点,且线段AB的中点在直线l:x-2y=0上.
(Ⅰ)求此椭圆的离心率;
(Ⅱ)若椭圆的右焦点关于直线l的对称点在圆x
2
+y
2
=4上,求此椭圆的方程.
题型:不详
难度:
|
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设椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F
1
、F
2
,离心率为
1
2
,左焦点F
1
到直线l:
x-
3
y-3=0
的距离等于长半轴长.
(I)求椭圆C的方程;
(II)过右焦点F
2
作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点,线段MN的中垂线与x轴相交于点P(m,O),求实数m的取值范围.
题型:石景山区一模
难度:
|
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若方程
x
2
9-t
+
y
2
t-3
=1表示椭圆,则实数t的取值范围是______.
题型:不详
难度:
|
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