(1)证明:由y=k(x+1)(k≠0)得x=y-1. 并代入椭圆方程3x2+y2=a2消去x得(3+k2)y2-6ky+3k2-k2a2=0 ① ∵直线l与椭圆相交于两个不同的点得△=36k2-4(3+k2)(3k2-k2a2)>0, ∴a2>. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2). 由①,得y1+y2=,② ∵=2,而点C(-1,0), ∴(-1-x1,-y1)=2(x2+1,y2), 得y1=-2y2代入②,得y2=,③ ∴△OAB的面积 S=|OC|•|y2-y1|=|y2|=≤=,当且仅当k2=3,即k=±时取等号. 把k的值代人③可得y2=±, 将及这两组值分别代入①,均可解出a2=15. ∴△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是3x2+y2=15. |