解(1)由题意c2=.设|PF1|+|PF2|=2a(a>),由余弦定理, 得cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 | 2|PF1|•|PF2| |
=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|-|F1F2|2 | 2|PF1|•|PF2| |
=4a2-4c2-2|PF1||PF2| | 2|PF1|•|PF2| | =-1. 又|PF1|•|PF2|≤()2=a2, 当且仅当|PF1|=|PF2|时,|PF1|•|PF2|取最大值, 此时cos∠F1PF2取最小值-1, 令-1=0, 解得a2=1,∵c=,∴b2=, 故所求P的轨迹方程为+=1.即y2+2x2=1; (2)设直线l的方程为y=kx+m(k≠0),l与椭圆C的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2), 由,得(k2+2)x2+2kmx+(m2-1)=0. 则△=(2km)2-4(k2+2)(m2-1)=4(k2-2m2+2)>0. x1+x2=,x1x2=, 因为=3,所以-x1=3x2,所以, 所以3(x1+x2)2+4x1x2=0,即k2(4m2-1)+(2m2-2)=0 当m2=时,上式不成立; 当m2≠时,k2=>0; 把k2=代入△=4(k2-2m2+2)>0, 得:4(-2m2+2)>0. 解得m的取值范围为(-1,-)∪(,1). |