已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点为F2（3，0），离心率为e=32．（1）求椭圆的方程．（2）设直线y-kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分

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已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点为F2（3，0），离心率为e=32．（1）求椭圆的方程．（2）设直线y-kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分

题型：不详难度：来源：
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点为F2（3，0），离心率为e=


3
2
．
（1）求椭圆的方程．
（2）设直线y-kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，求k的值．
答案
（1）由题意得





c=3
c
a
=


3
2
，得a=2


3
．  …（2分）
结合a2=b2+c2，解得a2=12，b2=3．…（4分）
所以，椭圆的方程为
x2
12
+
y2
3
=1．        …（6分）
（2）由





x2
12
+
y2
3
=1
y=kx
，得（3+12k2）x2-12×3=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=0，x1x2=-
36
3+12k2
，…（10分）
依题意，OM⊥ON，
易知，四边形OMF2N为平行四边形，所以AF2⊥BF2，…（12分）
因为


F2A
=（x1-3，y1），


F2B
=（x2-3，y2），
所以


F2A
•


F2B
=（x1-3）（x2-3）+y1y2=（1+k2）x1x2+9=0，
即
-12×3(1+k2)
3+12k2
+9=0，
解得k=±


2
4
．…（15分）
举一反三
已知双曲线
x2
6
-
y2
2
=1，
（1）求以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆E的方程．
（2）点P在椭圆E上，点C（2，1）关于坐标原点的对称点为D，直线CP和DP的斜率都存在且不为0，试问直线CP和DP的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由．
（3）平行于CD的直线l交椭圆E于M、N两点，求△cmn面积的最大值，并求此时直线l的方程．
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若椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1过抛物线y2=8x的焦点，且与双曲线x2-y2=1有相同的焦点，则该椭圆的方程为______．
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已知椭圆C过点A(1，
3
2
)，两个焦点坐标分别是F1（-1，0），F2（1，0）．
（1）求椭圆C的方程．
（2）过左焦点F1作斜率为1的直线l与椭圆相交于M、N两点，求线段MN的长．
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已知中心在原点的椭圆C的右焦点为(


3
 ， 0)，离心率为


3
2

（1）求椭圆C的方程
（2）若直线l：y=kx+


2
与椭圆C恒有两个不同交点A、B，且


OA
•


OB
＞2（其中O为原点），求实数k的取值范围．
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已知：中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的一个顶点是（0，-


5
），离心率为


3
2

（1）求：椭圆方程；（2）若直线y=
1
2
x+m与椭圆相交于A、B两点，椭圆的左右焦点分别是F1和F2，求：以F1F2和AB为对角线的四边形F1AF2B面积的最大值．
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