已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,x∈[-2,2]表示的曲线过原点,且在x=±1处的切线斜率均为-1,有以下命题:①f(x)的解析式为:f(x)=x3-
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已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,x∈[-2,2]表示的曲线过原点,且在x=±1处的切线斜率均为-1,有以下命题: ①f(x)的解析式为:f(x)=x3-4x,x∈[-2,2] ②f(x)的极值点有且仅有一个; ③f(x)的最大值与最小值之和等于零. 其中正确的命题是______. |
答案
函数f(x)=x3+ax2+bx+c的图象过原点,可得c=0; 又f′(x)=3x2+2ax+b,且f(x)在x=±1处的切线斜率均为-1, 则有 ,解得a=0,b=-4. 所以f(x)=x3-4x,f′(x)=3x2-4. ①可见f(x)=x3-4x,因此①正确; ②令f′(x)=0,得x=±.因此②不正确; 所以f(x)在[-,]内递减, 且f(x)的极大值为f(-)=,极小值为f( )=-,两端点处f(-2)=f(2)=0, 所以f(x)的最大值为M=,最小值为m=-,则M+m=0,因此③正确. 故答案为:①③. |
举一反三
已知函数f(x)=(x2-7x+13)ex.(1)求曲线y=f(x)在其上一点P(0,f(0))处的切线的方程;(2)求函数y=f(x)的极值. |
已知f(x)=x3-x2+bx+c (1)若f(x)的图象有与x轴平行的切线,求b的取值范围; (2)若f(x)在x=1时取得极值,且x∈(-1,2),f(x)<c2恒成立,求c的取值范围. |
已知函数y=f(x)=. (1)求函数y=f(x)的图象在x=处的切线方程; (2)求y=f(x)的最大值; (3)设实数a>0,求函数F(x)=af(x)在[a,2a]上的最小值. |
求曲线y=在点M(π,0)处的切线方程______. |
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