已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,离心率为12,过F1的直线l与椭圆C交于M,N两点,且△MNF2的周长为8.(Ⅰ)求
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已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,离心率为12,过F1的直线l与椭圆C交于M,N两点,且△MNF2的周长为8.(Ⅰ)求
题型:东城区一模
难度:
来源:
已知椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)的两个焦点分别为F
1
,F
2
,离心率为
1
2
,过F
1
的直线l与椭圆C交于M,N两点,且△MNF
2
的周长为8.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过原点O的两条互相垂直的射线与椭圆C分别交于A,B两点,证明:点O到直线AB的距离为定值,并求出这个定值.
答案
(I)由题意知,4a=8,所以a=2.
因为
e=
1
2
,
所以
b
2
a
2
=
a
2
-
c
2
a
2
=1-
e
2
=
3
4
,
所以b
2
=3.
所以椭圆C的方程为
x
2
4
+
y
2
3
=1
.
(II)由题意,当直线AB的斜率不存在,此时可设A(x
0
,x
0
),B(x
0
,-x
0
).
又A,B两点在椭圆C上,
所以
x
0
2
4
+
x
0
2
3
=1
,
x
0
2
=
12
7
.
所以点O到直线AB的距离
d=
12
7
=
2
21
7
.
当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+m.
由
y=kx+m
x
2
4
+
y
2
3
=1
消去y得(3+4k
2
)x
2
+8kmx+4m
2
-12=0.
由已知△>0,设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
).
所以
x
1
+
x
2
=-
8km
3+4
k
2
,
x
1
x
2
=
4
m
2
-12
3+4
k
2
.
因为OA⊥OB,所以x
1
x
2
+y
1
y
2
=0.
所以x
1
x
2
+(kx
1
+m)(kx
2
+m)=0,即
(
k
2
+1)
x
1
x
2
+km(
x
1
+
x
2
)+
m
2
=0
.
所以
(
k
2
+1)
4
m
2
-12
3+4
k
2
-
8
k
2
m
2
3+4
k
2
+
m
2
=0
.
整理得7m
2
=12(k
2
+1),满足△>0.
所以点O到直线AB的距离
d=
|m|
k
2
+1
=
12
7
=
2
21
7
为定值.
举一反三
已知椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
过点
(
3
,
3
2
)
,离心率
e=
1
2
,若点M(x
0
,y
0
)在椭圆C上,则点
N(
x
0
a
,
y
0
b
)
称为点M的一个“椭点”,直线l交椭圆C于A、B两点,若点A、B的“椭点”分别是P、Q,且以PQ为直径的圆经过坐标原点O.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C的右顶点为D,上顶点为E,试探究△OAB的面积与△ODE的面积的大小关系,并证明.
题型:怀化三模
难度:
|
查看答案
已知动点P在以F
1
(0,
2
2
)、F
2
(0,-
2
2
)为焦点的椭圆上C,且cos∠F
1
PF
2
的最小值为0,直线l与y轴交于点Q(0,m),与椭圆C交于相异两点A,B,且
AQ
=3
QB
(1)求椭圆C的方程;
(2)实数m的取值范围.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)的右焦点为F
2
(3,0),离心率为
e=
3
2
.
(1)求椭圆的方程.
(2)设直线y-kx与椭圆相交于A,B两点,M,N分别为线段AF
2
,BF
2
的中点,若坐标原点O在以MN为直径的圆上,求k的值.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知双曲线
x
2
6
-
y
2
2
=1
,
(1)求以双曲线的顶点为焦点,焦点为顶点的椭圆E的方程.
(2)点P在椭圆E上,点C(2,1)关于坐标原点的对称点为D,直线CP和DP的斜率都存在且不为0,试问直线CP和DP的斜率之积是否为定值?若是,求此定值;若不是,请说明理由.
(3)平行于CD的直线l交椭圆E于M、N两点,求△cmn面积的最大值,并求此时直线l的方程.
题型:不详
难度:
|
查看答案
若椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
过抛物线y
2
=8x的焦点,且与双曲线x
2
-y
2
=1有相同的焦点,则该椭圆的方程为______.
题型:不详
难度:
|
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