设F1,F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右两个焦点,若椭圆C上的点A(1,32)到F1,F2两点的距离之和等于4.(1)求出椭圆C的

设F1,F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右两个焦点,若椭圆C上的点A(1,32)到F1,F2两点的距离之和等于4.(1)求出椭圆C的

题型:不详难度:来源:
设F1,F2分别为椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右两个焦点,若椭圆C上的点A(1,
3
2
)到F1F2
两点的距离之和等于4.
(1)求出椭圆C的方程和焦点坐标;
(2)过点P(0,
3
2
)的直线与椭圆交于两点M、N,若OM⊥ON,求直线MN的方程.
答案
(1)椭圆C的焦点在x轴上,
由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4,得2a=4,即a=2,
又点A(1,
3
2
)
在椭圆上,∴
1
22
+
(
3
2
)
2
b2
=1
,∴b2=3,∴c2=1,
所以椭圆C的方程为
x2
4
+
y2
3
=1,F1(-1,0),F2(1,0)
.…(6分)
(2)直线MN不与x轴垂直,设直线MN方程为y=kx+
3
2

代入椭圆C的方程得(3+4k2)x2+12kx-3=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-
12k
3+4k2
,x1x2=-
3
3+4k2
,且△>0成立.


OM


•ON
=x1x2+y1y2=x1x2+( kx1+
3
2
)(kx2+
3
2
)=-
3(1+k2)
3+4k2
-
18k2
3+4k2
+
9
4
=0,
∴16k2=5,k=±


5
4

∴MN方程为y=±


5
4
x+
3
2
…(14分)
举一反三
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率


2
2
,直线l:x-y+


2
=0
与以原点为圆心,以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切.
(I)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设M是椭圆的上顶点,过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,设两直线的斜率分别为k1,k2,且k1+k2=4,证明:直线AB过定点N(-
1
2
,-l).
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在平面直角坐标系xOy中,曲线C1





x=acosφ
y=sinφ
(1<a<6,φ为参数).在以O为原点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2的极坐标方程为ρ=6cosθ,射线为θ=α,与C1的交点为A,与C2除极点外的一个交点为B.当α=0时,|AB|=4.
(1)求C1,C2的直角坐标方程;
(2)设C1与y轴正半轴交点为D,当a=
π
4
时,设直线BD与曲线C1的另一个交点为E,求|BD|+|BE|.
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设直线l:y=k(x+1)(k≠0)与椭圆3x2+y2=a2(a>0)相交于A、B两个不同的点,与x轴相交于点C,记O为坐标原点.
(1)证明:a2
3k2
3+k2

(2)若
.
AC
=2
.
CB
,求△OAB的面积取得最大值时的椭圆方程.
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在平面直角坐标系xOy中,已知定点A(-2,0)、B(2,0),M是动点,且直线MA与直线MB的斜率之积为-
1
4
,设动点M的轨迹为曲线C.
(I)求曲线C的方程;
(II )过定点T(-1,0)的动直线l与曲线C交于P,Q两点,是否存在定点S(s,0),使得


SP


SQ
为定值,若存在求出s的值;若不存在请说明理由.
题型:石家庄一模难度:| 查看答案
双曲线的一个焦点与抛物线x2=8y的焦点相同,一条渐近线与x-y+3=0平行,则该双曲线的标准方程为(  )
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