已知直线(k+1)x-y-3-3k=0(k∈R)所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点,且椭圆C上的点到点F的最大距离为8.(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;(7分)(Ⅱ
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已知直线(k+1)x-y-3-3k=0(k∈R)所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点,且椭圆C上的点到点F的最大距离为8. (Ⅰ)求椭圆C的标准方程;(7分) (Ⅱ)已知圆O:x2+y2=1,直线l:mx+ny=1.试证明当点P(m,n)在椭圆C上运动时,直线l与圆O恒相交;并求直线l被圆O所截得的弦长的取值范围.(8分) |
答案
(Ⅰ)由(k+1)x-y-3-3k=0(k∈R),得x-y-3+k(x-3)=0, 则由,解得定点F(3,0); 设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),则,解得; 所以椭圆C的方程为+=1. (Ⅱ)因为点P(m,n)在椭圆C上运动,所以1=+<m2+n2,从而圆心O到直线l:mx+ny=1的距离d=<1=r,所以直线l与圆O恒相交; 又直线l被圆O截得的弦长为L=2=2=2, 由于0≤m2≤25,所以16≤m2+16≤25,则L∈[,], 即直线l被圆O截得的弦长的取值范围是L∈[,]. |
举一反三
已知椭圆C:+=1(a>b>0)两个焦点为F1、F2,上顶点A(0,b),△AF1F2为正三角形且周长为6. (1)求椭圆C的标准方程及离心率; (2)O为坐标原点,直线F1A上有一动点P,求|PF2|+|PO|的最小值. |
椭圆C:+=1(a>b>0)的上下焦点分别为F1,F2,在x轴的两端点分别为A,B,四边形F1AF2B是边长为4的正方形. (1)求椭圆方程; (2)过点P(0,3)作直线l交椭圆与M,N两点,且=3,求直线l的方程. |
设F1,F2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右两个焦点,若椭圆C上的点A(1,)到F1,F2两点的距离之和等于4. (1)求出椭圆C的方程和焦点坐标; (2)过点P(0,)的直线与椭圆交于两点M、N,若OM⊥ON,求直线MN的方程. |
已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率,直线l:x-y+=0与以原点为圆心,以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切. (I)求椭圆C的方程; (Ⅱ)设M是椭圆的上顶点,过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,设两直线的斜率分别为k1,k2,且k1+k2=4,证明:直线AB过定点N(-,-l). |
在平面直角坐标系xOy中,曲线C1为(1<a<6,φ为参数).在以O为原点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2的极坐标方程为ρ=6cosθ,射线为θ=α,与C1的交点为A,与C2除极点外的一个交点为B.当α=0时,|AB|=4. (1)求C1,C2的直角坐标方程; (2)设C1与y轴正半轴交点为D,当a=时,设直线BD与曲线C1的另一个交点为E,求|BD|+|BE|. |
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