已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)两个焦点为F1、F2,上顶点A(0,b),△AF1F2为正三角形且周长为6.(1)求椭圆C的标准方程及离心率;(
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已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)两个焦点为F1、F2,上顶点A(0,b),△AF1F2为正三角形且周长为6.(1)求椭圆C的标准方程及离心率;(
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
两个焦点为F
1
、F
2
,上顶点A(0,b),△AF
1
F
2
为正三角形且周长为6.
(1)求椭圆C的标准方程及离心率;
(2)O为坐标原点,直线F
1
A上有一动点P,求|PF
2
|+|PO|的最小值.
答案
(1)由题设得
a=2c
a+a+2c=6
a
2
=
b
2
+
c
2
,
解得:a=2,b=
3
c=1,
故C的方程为
x
2
4
+
y
2
3
=1
,离心率e=
1
2
.
(2)直线F
1
A的方程为
y=
3
(x+1)
,
设点0关于直线F
1
A对称的点为M(x
0
,y
0
),则
y
0
x
0
•
3
=-1
y
0
2
=
3
(
x
0
2
+1)
⇒
x
0
=-
3
2
y
0
=
3
2
,
所以点M的坐标为
(-
3
2
,
3
2
)
,
∵|PO|=|PM|,|PF
2
|+|PO|=|PF
2
|+|PM|≥|MF
2
|,
|PF
2
|+|PO|的最小值为
|M
F
2
|=
(-
3
2
-1)
2
+
(
3
2
-0)
2
=
7
.
举一反三
椭圆
C:
y
2
a
2
+
x
2
b
2
=1
(a>b>0)的上下焦点分别为F
1
,F
2
,在x轴的两端点分别为A,B,四边形F
1
AF
2
B是边长为4的正方形.
(1)求椭圆方程;
(2)过点P(0,3)作直线l交椭圆与M,N两点,且
MP
=3
PN
,求直线l的方程.
题型:不详
难度:
|
查看答案
设F
1
,F
2
分别为椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的左、右两个焦点,若椭圆C上的点
A(1,
3
2
)到
F
1
,
F
2
两点的距离之和等于4.
(1)求出椭圆C的方程和焦点坐标;
(2)过点P(0,
3
2
)的直线与椭圆交于两点M、N,若OM⊥ON,求直线MN的方程.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的离心率
2
2
,直线
l:x-y+
2
=0
与以原点为圆心,以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切.
(I)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设M是椭圆的上顶点,过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,设两直线的斜率分别为k
1
,k
2
,且k
1
+k
2
=4,证明:直线AB过定点N(
-
1
2
,-l).
题型:不详
难度:
|
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在平面直角坐标系xOy中,曲线C
1
为
x=acosφ
y=sinφ
(1<a<6,φ为参数).在以O为原点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C
2
的极坐标方程为ρ=6cosθ,射线为θ=α,与C
1
的交点为A,与C
2
除极点外的一个交点为B.当α=0时,|AB|=4.
(1)求C
1
,C
2
的直角坐标方程;
(2)设C
1
与y轴正半轴交点为D,当
a=
π
4
时,设直线BD与曲线C
1
的另一个交点为E,求|BD|+|BE|.
题型:不详
难度:
|
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设直线l:y=k(x+1)(k≠0)与椭圆3x
2
+y
2
=a
2
(a>0)相交于A、B两个不同的点,与x轴相交于点C,记O为坐标原点.
(1)证明:
a
2
>
3
k
2
3+
k
2
;
(2)若
.
AC
=2
.
CB
,求△OAB的面积取得最大值时的椭圆方程.
题型:不详
难度:
|
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