(I)由题意,,∴a=,b=1 ∴椭圆的方程为+y2=1; (II)y=kx+m代入椭圆方程整理可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0. 设点M、N的坐标分别为M(x1,y1)、N(x2,y2)、P(x0,y0),则 x1+x2=-,x1x2= ∴y1+y2=k(x1+x2)+2m= (1)当m=0时,点M、N关于原点对称,则λ=0. (2)当m≠0时,点M、N不关于原点对称,则λ≠0, ∵+=λ,∴(x1,y1)+(x2,y2)=λ(x0,y0), ∴x1+x2=λx0,y1+y2=λy0, ∴x0=-,y0= ∵P在椭圆上, ∴[-]2+2[]2=2 化简,得4m2(1+2k2)=λ2(1+2k2)2. ∵1+2k2≠0, ∴有4m2=λ2(1+2k2).…①…7分 又∵△=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=8(1+2k2-m2), ∴由△>0,得1+2k2>m2.…②…8分 将①、②两式,∵m≠0,∴λ2<4, ∴-2<λ<2且λ≠0. 综合(1)、(2)两种情况,得实数λ的取值范围是-2<λ<2; (III)由题意,|MN|=|x1-x2|,点O到直线MN的距离d= ∴S△MNO=|m||x1-x2|= 当λ=时,由4m2=λ2(1+2k2)可得2m2=1+2k2, ∴S△MNO=. |