已知△ABC中,点A、B的坐标分别为(-2,0),B(2,0),点C在x轴上方.(1)若点C坐标为(2,1),求以A、B为焦点且经过点C的椭圆的方程;(2)过点
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已知△ABC中,点A、B的坐标分别为(-2,0),B(2,0),点C在x轴上方.(1)若点C坐标为(2,1),求以A、B为焦点且经过点C的椭圆的方程;(2)过点
题型:蚌埠二模
难度:
来源:
已知△ABC中,点A、B的坐标分别为
(-
2
,0),B(
2
,0)
,点C在x轴上方.
(1)若点C坐标为
(
2
,1)
,求以A、B为焦点且经过点C的椭圆的方程;
(2)过点P(m,0)作倾角为
3
4
π
的直线l交(1)中曲线于M、N两点,若点Q(1,0)恰在以线段MN为直径的圆上,求实数m的值.
答案
(1)设椭圆方程为
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0),则c=
2
,
∵C
(
2
,1)
,A
(-
2
,0),B(
2
,0)
,
∴2a=|AC|+|BC|=4,b=
a
2
-
c
2
=
2
,
∴椭圆方程为
x
2
4
+
y
2
2
=1
(5分)
(2)直线l的方程为y=-(x-m),令M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
),
将y=-(x-m)代入椭圆方程
x
2
4
+
y
2
2
=1
,消去y可得6x
2
-8mx+4m
2
-8=0
∴
x
1
+
x
2
=
4m
3
x
1
x
2
=
2
m
2
-4
3
,
若Q恰在以MN为直径的圆上,则
y
1
x
1
-1
×
y
2
x
2
-1
=-1
,
即m
2
+1-(m+1)(x
1
+x
2
)+2x
1
x
2
=0,
∴3m
2
-4m-5=0
解得
m=
2±
19
3
.
举一反三
已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)的两个焦点分别为F
1
,F
2
,离心率为
2
2
,且过点
(2,
2
)
.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)M,N,P,Q是椭圆C上的四个不同的点,两条都不和x轴垂直的直线MN和PQ分别过点F
1
,F
2
,且这两条直线互相垂直,求证:
1
|MN|
+
1
|PQ|
为定值.
题型:东城区一模
难度:
|
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已知直线(k+1)x-y-3-3k=0(k∈R)所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点,且椭圆C上的点到点F的最大距离为8.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;(7分)
(Ⅱ)已知圆O:x
2
+y
2
=1,直线l:mx+ny=1.试证明当点P(m,n)在椭圆C上运动时,直线l与圆O恒相交;并求直线l被圆O所截得的弦长的取值范围.(8分)
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
两个焦点为F
1
、F
2
,上顶点A(0,b),△AF
1
F
2
为正三角形且周长为6.
(1)求椭圆C的标准方程及离心率;
(2)O为坐标原点,直线F
1
A上有一动点P,求|PF
2
|+|PO|的最小值.
题型:不详
难度:
|
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椭圆
C:
y
2
a
2
+
x
2
b
2
=1
(a>b>0)的上下焦点分别为F
1
,F
2
,在x轴的两端点分别为A,B,四边形F
1
AF
2
B是边长为4的正方形.
(1)求椭圆方程;
(2)过点P(0,3)作直线l交椭圆与M,N两点,且
MP
=3
PN
,求直线l的方程.
题型:不详
难度:
|
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设F
1
,F
2
分别为椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的左、右两个焦点,若椭圆C上的点
A(1,
3
2
)到
F
1
,
F
2
两点的距离之和等于4.
(1)求出椭圆C的方程和焦点坐标;
(2)过点P(0,
3
2
)的直线与椭圆交于两点M、N,若OM⊥ON,求直线MN的方程.
题型:不详
难度:
|
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