已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,离心率为22,且过点(2,2).(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;(Ⅱ)M,N,P,Q是椭圆

已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,离心率为22,且过点(2,2).(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;(Ⅱ)M,N,P,Q是椭圆

题型:东城区一模难度:来源:
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,离心率为


2
2
,且过点(2,


2
)

(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)M,N,P,Q是椭圆C上的四个不同的点,两条都不和x轴垂直的直线MN和PQ分别过点F1,F2,且这两条直线互相垂直,求证:
1
|MN|
+
1
|PQ|
为定值.
答案
(Ⅰ)由已知e=
c
a
=


2
2
,得
b2
a2
=
a2-c2
a2
=1-e2=
1
2

所以a2=2b2
所以C:
x2
2b2
+
y2
b2
=1
,即x2+2y2=2b2
因为椭圆C过点(2,


2
)
,所以22+2(


2
)2=2b2

得b2=4,a2=8.
所以椭圆C的方程为
x2
8
+
y2
4
=1

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知椭圆C的焦点坐标为F1(-2,0),F2(2,0).
根据题意,可设直线MN的方程为y=k(x+2),
由于直线MN与直线PQ互相垂直,则直线PQ的方程为y=-
1
k
(x-2)

设M(x1,y1),N(x2,y2).
由方程组





y=k(x+2)
x2
8
+
y2
4
=1
消y得(2k2+1)x2+8k2x+8k2-8=0.
则 x1+x2=
-8k2
2k2+1
x1x2=
8k2-8
2k2+1

所以|MN|=


1+k2
|x1-x2|
=


1+k2


(x1+x2)2-4x1x2
=
4


2
(1+k2)
2k2+1

同理可得|PQ|=
4


2
(1+k2)
k2+2

所以
1
|MN|
+
1
|PQ|
=
2k2+1
4


2
(1+k2)
+
k2+2
4


2
(1+k2)
=
3k2+3
4


2
(1+k2)
=
3


2
8
举一反三
已知直线(k+1)x-y-3-3k=0(k∈R)所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点,且椭圆C上的点到点F的最大距离为8.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;(7分)
(Ⅱ)已知圆O:x2+y2=1,直线l:mx+ny=1.试证明当点P(m,n)在椭圆C上运动时,直线l与圆O恒相交;并求直线l被圆O所截得的弦长的取值范围.(8分)
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
两个焦点为F1、F2,上顶点A(0,b),△AF1F2为正三角形且周长为6.
(1)求椭圆C的标准方程及离心率;
(2)O为坐标原点,直线F1A上有一动点P,求|PF2|+|PO|的最小值.
题型:不详难度:| 查看答案
椭圆C:
y2
a2
+
x2
b2
=1
(a>b>0)的上下焦点分别为F1,F2,在x轴的两端点分别为A,B,四边形F1AF2B是边长为4的正方形.
(1)求椭圆方程;
(2)过点P(0,3)作直线l交椭圆与M,N两点,且


MP
=3


PN
,求直线l的方程.
题型:不详难度:| 查看答案
设F1,F2分别为椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右两个焦点,若椭圆C上的点A(1,
3
2
)到F1F2
两点的距离之和等于4.
(1)求出椭圆C的方程和焦点坐标;
(2)过点P(0,
3
2
)的直线与椭圆交于两点M、N,若OM⊥ON,求直线MN的方程.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率


2
2
,直线l:x-y+


2
=0
与以原点为圆心,以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切.
(I)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设M是椭圆的上顶点,过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,设两直线的斜率分别为k1,k2,且k1+k2=4,证明:直线AB过定点N(-
1
2
,-l).
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