直线l的方程为y=x+3，在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x2-4y2=3的焦点为椭圆的焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为______．

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直线l的方程为y=x+3，在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x²-4y²=3的焦点为椭圆的焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为______．

答案

设椭圆方程为：

=1 a＞b＞0
c=1，a²-b²=c²=1
设P的坐标为：﹙m．m+3﹚P在椭圆上

(m+3)2

a2-1

=1，
﹙a²-1﹚m²+a²﹙m²+6m+9﹚=a²﹙a²-1﹚=﹙a²﹚²-a²﹙2a²-1﹚m²+6a²m+10a²-﹙a²﹚²=0
△=﹙6a²﹚²-﹙8a²-4﹚﹙10a²-a⁴﹚≥0
36a⁴-80a⁴++40a²+8a⁶-4a⁴≥0
-48a²+40+8a⁴≥0，a⁴-6a²+5≥0
﹙a²-5﹚﹙a²-1﹚≥0
a²≤1或 a²≥5
∵c²=1，a²＞c²∴a²≥5，长轴最短，即a²=5
b²=a²-1=4
所以：所求椭圆方程为：

=1．
故答案为：

=1．

举一反三

已知椭圆E的焦点在x轴上，长轴长为4，离心率为

．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）已知点A（0，1）和直线l：y=x+m，线段AB是椭圆E的一条弦且直线l垂直平分弦AB，求实数m的值．

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一束光线从点F₁（-1，0）出发，经直线l：2x-y+3=0上一点D反射后，恰好穿过点F₂（1，0），
（1）求以F₁、F₂为焦点且过点D的椭圆C的方程；
（2）从椭圆C上一点M向以短轴为直径的圆引两条切线，切点分别为A、B，直线AB与x轴、y轴分别交于点P、Q．求|PQ|的最小值．

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若椭圆

=1(m，n＞0)的离心率为

，一个焦点恰好是抛物线y²=8x的焦点，则椭圆的标准方程为______．

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已知椭圆的两个焦点F₁（0，1）、F₂（0，1）、直线y=4是它的一条准线，A₁、A₂分别是椭圆的上、下两个顶点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设以原点为顶点，A₁点的抛物线为C，若过点F1的直线l与C交于不同的两点M、N，求线段MN的中点Q的轨迹方程．

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已知椭圆C：

=1(a＞b＞0)的右焦点为F，离心率e=

，椭圆C上的点到F的距离的最大值为

+1，直线l过点F与椭圆C交于不同的两点A、B．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若|AB|=

，求直线l的方程．

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