已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,离心率e=22,椭圆C上的点到F的距离的最大值为2+1,直线l过点F与椭圆C交于不同的两点A、B.
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已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,离心率e=22,椭圆C上的点到F的距离的最大值为2+1,直线l过点F与椭圆C交于不同的两点A、B.
题型:济南一模
难度:
来源:
已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的右焦点为F,离心率
e=
2
2
,椭圆C上的点到F的距离的最大值为
2
+1
,直线l过点F与椭圆C交于不同的两点A、B.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若
|AB|=
3
2
2
,求直线l的方程.
答案
(1)由题意知,
c
a
=
2
2
,a+c=
2
+1
,
所以
a=
2
,c=1
,从而b=1,
故椭圆C的方程为
x
2
2
+
y
2
=1
(2)容易验证直线l的斜率不为0,故可设直线l的方程为x=my+1,代入
x
2
2
+
y
2
=1
中,
得(m
2
+2)y
2
+2my-1=0.
设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
则由根与系数的关系,得
y
1
+
y
2
=-
2m
m
2
+2
y
1
y
2
=-
1
m
2
+2
,
|AB|=
1+
m
2
|
y
2
-
y
1
|=
1+
m
2
(
y
2
+
y
1
)
2
-4
y
1
y
2
=
1+
m
2
4
m
2
(
m
2
+2)
2
+
4
m
2
+2
=
2
2
(
m
2
+1)
m
2
+2
=
3
2
2
,
解得m=±
2
,
所以直线l的方程为
x=±
2
y+1
,即
x-
2
y-1=0
或
x+
2
y-1=0
.
举一反三
已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点,焦点在x轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若P为椭圆C上的动点,M为过P且垂直于x轴的直线上的点,
|OP|
|OM|
=λ,求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.
题型:宁夏
难度:
|
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已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于
,则C的方程是( )
A.
B.
C.
D.
题型:广东
难度:
|
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设椭圆E:
x
2
a
2
+
y
2
1
-a
2
=1
的焦点在x轴上
(1)若椭圆E的焦距为1,求椭圆E的方程;
(2)设F
1
,F
2
分别是椭圆E的左、右焦点,P为椭圆E上第一象限内的点,直线F
2
P交y轴于点Q,并且F
1
P⊥F
1
Q,证明:当a变化时,点P在某定直线上.
题型:安徽
难度:
|
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在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C的中心在原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,离心率为
2
2
(I)求椭圆C的方程
(II)A,B为椭圆C上满足△AOB的面积为
6
4
的任意两点,E为线段AB的中点,射线OE交椭圆C与点P,设
OP
=t
OE
,求实数t的值.
题型:山东
难度:
|
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已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的离心率
e=
6
3
,一条准线方程为
x=
3
6
2
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设G,H为椭圆上的两个动点,O为坐标原点,且OG⊥OH.
①当直线OG的倾斜角为60°时,求△GOH的面积;
②是否存在以原点O为圆心的定圆,使得该定圆始终与直线GH相切?若存在,请求出该定圆方程;若不存在,请说明理由.
题型:宿迁一模
难度:
|
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