已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=102．求椭圆的方程．

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已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=102．求椭圆的方程．

题型：不详难度：来源：
已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=


10
2
．求椭圆的方程．
答案
设所求椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1.
依题意知，点P、Q的坐标满足方程组
①②





x2
a2
+
y2
b2
=1
y=x+1.

将②式代入①式，整理得
（a2+b2）x2+2a2x+a2（1-b2）=0，③
设方程③的两个根分别为x1，x2，那么直线y=x+1与椭圆的交点为P（x1，x1+1），Q（x2，x2+1）．
由题设OP⊥OQ，|PQ|=


10
2
，可得





x1+1
x1
•
x2+1
x2
=-1
(x2-x1)2+[(x2+1)-(x1+1)]2=(


10
2
)2.

整理得
④⑤





(x1+x2)+2x1x2+1=0
4(x1+x2)2-16x1x2-5=0.

解这个方程组，得





x1x2=
1
4
x1+x2=-
3
2
或





x1x2=-
1
4
x1+x2=-
1
2
.

根据根与系数的关系，由③式得
（Ⅰ）





2a2
a2+b2
=
3
2
a2(1-b2)
a2+b2
=
1
4
或（Ⅱ）





2a2
a2+b2
=
1
2
a2(1-b2)
a2+b2
=-
1
4
.

解方程组（Ⅰ），（Ⅱ），得





a2=2
b2=
2
3
或





a2=
2
3
b2=2.

故所求椭圆的方程为
x2
2
+
y2
2
3
=1，或
x2
2
3
+
y2
2
=1.
举一反三
若平移椭圆4（x+3）2+9y2=36，使平移后的椭圆中心在第一象限，且它与x轴、y轴分别只有一个交点，则平移后的椭圆方程是______．
题型：上海难度：| 查看答案
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），两个焦点分别为F1和F2，斜率为k的直线l过右焦点F2且与椭圆交于A、B两点，设l与y轴交点为P，线段PF2的中点恰为B．若|k|≤
2


5
5
，求椭圆C的离心率的取值范围．
题型：不详难度：| 查看答案
已知x、y之间满足
x2
4
+
y2
b2
=1(b＞0)
（1）方程
x2
4
+
y2
b2
=1(b＞0)表示的曲线经过一点(


3
，
1
2
)，求b的值
（2）动点（x，y）在曲线
x2
4
+
y2
b2
=1（b＞0）上变化，求x2+2y的最大值；
（3）由
x2
4
+
y2
b2
=1(b＞0)能否确定一个函数关系式y=f（x），如能，求解析式；如不能，再加什么条件就可使x、y之间建立函数关系，并求出解析式．
题型：奉贤区一模难度：| 查看答案
椭圆的中心在原点O，短轴长为2


3
，左焦点为F（-c，0）（c＞0），相应的准线l与x轴交于点A，且点F分


AO
的比为3，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若PF⊥QF，求直线PQ的方程．
题型：杭州二模难度：| 查看答案
（1）试讨论方程（1-k）x2+（3-k2）y2=4（k∈R）所表示的曲线；
（2）试给出方程
x2
k2+k-6
+
y2
6k2-k-1
=1表示双曲线的充要条件．
题型：不详难度：| 查看答案
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