已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上,直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q,且OP⊥OQ,|PQ|=102.求椭圆的方程.

已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上,直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q,且OP⊥OQ,|PQ|=102.求椭圆的方程.

题型:不详难度:来源:
已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上,直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q,且OP⊥OQ,|PQ|=


10
2
.求椭圆的方程.
答案
设所求椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1.

依题意知,点P、Q的坐标满足方程组
①②





x2
a2
+
y2
b2
=1
y=x+1.

将②式代入①式,整理得
(a2+b2)x2+2a2x+a2(1-b2)=0,③
设方程③的两个根分别为x1,x2,那么直线y=x+1与椭圆的交点为P(x1,x1+1),Q(x2,x2+1).
由题设OP⊥OQ,|PQ|=


10
2
,可得





x1+1
x1
x2+1
x2
=-1
(x2-x1)2+[(x2+1)-(x1+1)]2=(


10
2
)2.

整理得
④⑤





(x1+x2)+2x1x2+1=0
4(x1+x2)2-16x1x2-5=0.

解这个方程组,得





x1x2=
1
4
x1+x2=-
3
2





x1x2=-
1
4
x1+x2=-
1
2
.

根据根与系数的关系,由③式得
(Ⅰ)





2a2
a2+b2
=
3
2
a2(1-b2)
a2+b2
=
1
4
或(Ⅱ)





2a2
a2+b2
=
1
2
a2(1-b2)
a2+b2
=-
1
4
.

解方程组(Ⅰ),(Ⅱ),得





a2=2
b2=
2
3





a2=
2
3
b2=2.

故所求椭圆的方程为
x2
2
+
y2
2
3
=1
,或
x2
2
3
+
y2
2
=1.
举一反三
若平移椭圆4(x+3)2+9y2=36,使平移后的椭圆中心在第一象限,且它与x轴、y轴分别只有一个交点,则平移后的椭圆方程是______.
题型:上海难度:| 查看答案
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),两个焦点分别为F1和F2,斜率为k的直线l过右焦点F2且与椭圆交于A、B两点,设l与y轴交点为P,线段PF2的中点恰为B.若|k|≤
2


5
5
,求椭圆C的离心率的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
已知x、y之间满足
x2
4
+
y2
b2
=1(b>0)

(1)方程
x2
4
+
y2
b2
=1(b>0)
表示的曲线经过一点(


3
1
2
)
,求b的值
(2)动点(x,y)在曲线
x2
4
+
y2
b2
=1
(b>0)上变化,求x2+2y的最大值;
(3)由
x2
4
+
y2
b2
=1(b>0)
能否确定一个函数关系式y=f(x),如能,求解析式;如不能,再加什么条件就可使x、y之间建立函数关系,并求出解析式.
题型:奉贤区一模难度:| 查看答案
椭圆的中心在原点O,短轴长为2


3
,左焦点为F(-c,0)(c>0),相应的准线l与x轴交于点A,且点F分


AO
的比为3,过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若PF⊥QF,求直线PQ的方程.
题型:杭州二模难度:| 查看答案
(1)试讨论方程(1-k)x2+(3-k2)y2=4(k∈R)所表示的曲线;
(2)试给出方程
x2
k2+k-6
+
y2
6k2-k-1
=1表示双曲线的充要条件.
题型:不详难度:| 查看答案
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