椭圆的中心在原点O,短轴长为23,左焦点为F(-c,0)(c>0),相应的准线l与x轴交于点A,且点F分AO的比为3,过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.(1)
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椭圆的中心在原点O,短轴长为23,左焦点为F(-c,0)(c>0),相应的准线l与x轴交于点A,且点F分AO的比为3,过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.(1)
题型:杭州二模
难度:
来源:
椭圆的中心在原点O,短轴长为
2
3
,左焦点为F(-c,0)(c>0),相应的准线l与x轴交于点A,且点F分
AO
的比为3,过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若PF⊥QF,求直线PQ的方程.
答案
(1)设
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1,则c
2
+(
3
)
2
=a
2
,准线l:x=
a
2
c
,
由点F分
AO
的比为3,得
a
2
c
-c=3c,
解得a
2
=4,c=1,得椭圆方程为:
x
2
4
+
y
2
3
=1
.(5分)
(2)设PQ:y=k(x+4),P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
),F(-1,0).
∵PF⊥QF,∴(x
1
+1)(x
2
+1)+y
1
y
2
=0,
即(x
1
+1)(x
2
+1)+k
2
(x
1
+4)(x
2
+4)=0,
(1+k
2
)x
1
x
2
+(1+4k
2
)(x
1
+x
2
)+(1+16k
2
)=0(4分)
联立
y=k(x+4)
3
x
2
+4
y
2
=12
,消去y得(3+4k
2
)x
2
+32k
2
x+64k
2
-12=0
∴x
1
x
2
=
64
k
2
-12
3+4
k
2
,x
1
+x
2
=
-
32
k
2
3+4
k
2
(4分)
代入化简得8k
2
=1,∴k=±
2
4
.
∴直线PQ的方程为y=
2
4
(x+4)或y=
-
2
4
(x+4).(2分)
举一反三
(1)试讨论方程(1-k)x
2
+(3-k
2
)y
2
=4(k∈R)所表示的曲线;
(2)试给出方程
x
2
k
2
+k-6
+
y
2
6
k
2
-k-1
=1表示双曲线的充要条件.
题型:不详
难度:
|
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设椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
2
=1(a>0)
的左、右焦点分别为F
1
、F
2
,A是椭圆C上的一点,且
A
F
2
•
F
1
F
2
=0
,坐标原点O到直线AF
1
的距离为
1
3
|O
F
1
|
.
(I)求椭圆C的方程;
(II)设Q是椭圆C上的一点,过Q的直线l交x轴于点P(-1,0),较y轴于点M,若
MQ
=2
QP
,求直线l的方程.
题型:不详
难度:
|
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F
1
(-1,0)、F
2
(1,0)是椭圆的两焦点,过F
1
的直线l交椭圆于M、N,若△MF
2
N的周长为8,则椭圆方程为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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从集合{k|k∈z,1≤k≤11}中任选两个不同元素作为椭圆方程
x
2
m
2
+
y
2
n
2
=1
中的m和n,其中落在矩形B={(x,y)
题型:x|<11,|y|<9}内的椭圆有______个.
难度:
|
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已知椭圆E的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过A(-2,0)、B(2,0)、
C(1,
3
2
)
三点.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)若直线l:y=k(x-1)(k≠0)与椭圆E交于M、N两点,证明直线AM与直线BN的交点在直线x=4上.
题型:广州二模
难度:
|
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