解(Ⅰ)解法一:当椭圆E的焦点在x轴上时,设其方程为+=1(a>b>0), 则a=2,又点C(1,)在椭圆E上,得+=1.解得b2=3. ∴椭圆E的方程为+=1. 当椭圆E的焦点在y轴上时,设其方程为+=1(a>b>0), 则b=2,又点C(1,)在椭圆E上,得+=1.解得a2=3,这与a>b矛盾.C(1,) 综上可知,椭圆E的方程为+=1. …(4分) 解法二:设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0), 将A(-2,0)、B(2,0)、代入椭圆E的方程,得解得m=,n=. ∴椭圆E的方程为+=1. …(4分) (Ⅱ)证法一:将直线l:y=k(x-1)代入椭圆E的方程+=1并整理,得(3+4k2)x2-8k2x+4(k2-3)=0,…(6分) 设直线l与椭圆E的交点M(x1,y1),N(x2,y2), 由根与系数的关系,得x1+x2=,x1x2=. …(8分) 直线AM的方程为:y=(x+2),它与直线x=4的交点坐标为P(4,),同理可求得直线BN与直线x=4的交点坐标为Q(4,). …(10分) 下面证明P、Q两点重合,即证明P、Q两点的纵坐标相等:P ∵y1=k(x1-1),y2=k(x2-1), ∴-=6k(x1-1)(x2-2)-2k(x2-1)(x1+2) | (x1+2)(x2-2) | =2k[2x1x2-5(x1+x2)+8] | (x1+2)(x2-2) | ==0. 因此结论成立. 综上可知,直线AM与直线BN的交点在直线x=4上. …(14分) 证法二:将直线l:y=k(x-1),代入椭圆E的方程+=1并整理,得(3+4k2)x2-8k2x+4(k2-3)=0,…(6分) 设直线l与椭圆E的交点M(x1,y1),N(x2,y2), 由根与系数的关系,得x1+x2=,x1x2=. …(8分) 直线AM的方程为:y=(x+2),即y=(x+2). 直线BN的方程为:y=(x-2),即y=(x-2). …(10分) 由直线AM与直线BN的方程消去y,得x==2[2x1x2-3(x1+x2)+4x2] | (x1+x2)+2x2-4 | ===4. ∴直线AM与直线BN的交点在直线x=4上. …(14分) 证法三:将直线l:y=k(x-1),代入椭圆方程+=1并整理,得(3+4k2)x2-8k2x+4(k2-3)=0,…(6分) 设直线l与椭圆E的交点M(x1,y1),N(x2,y2), 由根与系数的关系,得x1+x2=,x1x2=. …(8分) 消去k2得,2x1x2=5(x1+x2)-8. …(10分) 直线AM的方程为:y=(x+2),即y=(x+2). 直线BN的方程为:y=(x-2),即y=(x-2). …(12分) 由直线AM与直线BN的方程消去y得,x==2[5(x1+x2)-8-3x1+x2] | x1+3x2-4 | =4. ∴直线AM与直线BN的交点在直线x=4上. …(14分) |