设椭圆C:x2a2+y22=1(a>0)的左、右焦点分别为F1、F2,A是椭圆C上的一点,且AF2•F1F2=0,坐标原点O到直线AF1的距离为13|OF1|.
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设椭圆C:x2a2+y22=1(a>0)的左、右焦点分别为F1、F2,A是椭圆C上的一点,且AF2•F1F2=0,坐标原点O到直线AF1的距离为13|OF1|.
题型:不详
难度:
来源:
设椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
2
=1(a>0)
的左、右焦点分别为F
1
、F
2
,A是椭圆C上的一点,且
A
F
2
•
F
1
F
2
=0
,坐标原点O到直线AF
1
的距离为
1
3
|O
F
1
|
.
(I)求椭圆C的方程;
(II)设Q是椭圆C上的一点,过Q的直线l交x轴于点P(-1,0),较y轴于点M,若
MQ
=2
QP
,求直线l的方程.
答案
(I)由题设知
F
1
(-
a
2
-2
,0),
F
2
(
a
2
-2
,0)
由于
A
F
2
•
F
1
F
2
=0
,则有
A
F
2
⊥
F
1
F
2
,
所以点A的坐标为
(
a
2
-2
,±
2
a
)
,
故AF
1
所在直线方程为
y=±(
x
a
a
2
-2
+
1
a
)
,…(3分)
所以坐标原点O到直线AF
1
的距离为
a
2
-2
a
2
-1
(a>
2
)
,
又
|O
F
1
|=
a
2
-2
,所以
a
2
-2
a
2
-1
=
1
3
a
2
-2
,
解得
a=2(a>
2
)
,
所求椭圆的方程为
x
2
4
+
y
2
2
=1
.…(5分)
(II)由题意知直线l的斜率存在,
设直线l的方程为y=k(x+1),则有M(0,k),
设Q(x
1
,y
1
),由于
MQ
=2
QP
,
∴(x
1
,y
1
-k)=2(-1-x
1
,-y
1
),
解得
x
1
=-
2
3
,
y
1
=
k
3
…(8分)
又Q在椭圆C上,得
(-
2
3
)
2
4
+
(
k
3
)
2
2
=1
,
解得k=±4,…(10分)
故直线l的方程为y=4(x+1)或y=-4(x+1),
即4x-y+4=0或4x+y+4=0. …(12分)
举一反三
F
1
(-1,0)、F
2
(1,0)是椭圆的两焦点,过F
1
的直线l交椭圆于M、N,若△MF
2
N的周长为8,则椭圆方程为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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从集合{k|k∈z,1≤k≤11}中任选两个不同元素作为椭圆方程
x
2
m
2
+
y
2
n
2
=1
中的m和n,其中落在矩形B={(x,y)
题型:x|<11,|y|<9}内的椭圆有______个.
难度:
|
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已知椭圆E的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过A(-2,0)、B(2,0)、
C(1,
3
2
)
三点.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)若直线l:y=k(x-1)(k≠0)与椭圆E交于M、N两点,证明直线AM与直线BN的交点在直线x=4上.
题型:广州二模
难度:
|
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已知椭圆的中心在原点,一个焦点是F(2,0),且两条准线间的距离为λ(λ>4).
(I)求椭圆的方程;
(II)若存在过点A(1,0)的直线l,使点F关于直线l的对称点在椭圆上,求λ的取值范围.
题型:湖南
难度:
|
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求以抛物线y
2
=8x的焦点为焦点,且离心率为
d的椭圆的标准方程为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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