已知椭圆的右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合,短轴长为2.椭圆的右准线l与x轴交于E,过右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点,点C在右准线l上,BC∥x轴.(
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已知椭圆的右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合,短轴长为2.椭圆的右准线l与x轴交于E,过右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点,点C在右准线l上,BC∥x轴. (1)求椭圆的标准方程,并指出其离心率; (2)求证:线段EF被直线AC平分. |
答案
(1)由题意,可设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0) ∵y2=4x的焦点为F(1,0) ∴c=1,又2b=2, ∴b=1,a2=b2+c2=2, 所以,椭圆的标准方程为+y2=1 其离心率为e= (2)证明:∵椭圆的右准线1的方程为:x=2, ∴点E的坐标为(2,0)设EF的中点为M,则M(,0) 若AB垂直于x轴,则A(1,y1),B(1,-y1),C(2,-y1) ∴AC的中点为N(,0) ∴线段EF的中点与AC的中点重合, ∴线段EF被直线AC平分, 若AB不垂直于x轴,则可设直线AB的方程为 y=k(x-1),k≠0,A(x1,y1),B(x2,y2) 则C(2,-y2) 把y=k(x-1)代入+y2=1 得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0 则有x1+x2=,x1x2= ∴kAM== =,kCM==2k(x2-1), ∵kAM-kCM=2k2(x1-3)=0 =2k=0 ∴kAM=kCM ∴A、M、C三点共线,即AC过EF的中点M, ∴线段EF被直线AC平分. |
举一反三
已知方程表示焦点在x轴上的椭圆,则m的取值范围是( )A.m>2或m<-1 | B.m>-2 | C.-1<m<2 | D.m>2或-2<m<-1 | 点M在椭圆+=1(a>b>0)上,以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F. (I)若圆M与y轴相交于A、B两点,且△ABM是边长为2的正三角形,求椭圆的方程; (Ⅱ)已知点F(1,0),设过点F的直线l交椭圆于C、D两点,若直线l绕点F任意转动时,恒有|OC|2+|OD|2<|CD|2成立,求实数a的取值范围. | 中心在原点,准线方程为x=±4,离心为椭圆方程是( )A. | B. | C. | D. | 已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上,直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q,且OP⊥OQ,|PQ|=.求椭圆的方程. | 若平移椭圆4(x+3)2+9y2=36,使平移后的椭圆中心在第一象限,且它与x轴、y轴分别只有一个交点,则平移后的椭圆方程是______. |
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