求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：（1）中心在原点，焦点在 x轴上，短轴长为12，离心率为45的椭圆；（2）抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x2a2-y2

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求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：
（1）中心在原点，焦点在 x轴上，短轴长为12，离心率为

的椭圆；
（2）抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线

=1的一个焦点，且与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为(

，

)，求抛物线与双曲线的方程．

答案

（1）∵椭圆中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为12，
∴设椭圆方程为

=1，（a＞b＞0）
∵离心率为e=

，b=6，
∴

a2-62

，解之得a=10，
从而得到椭圆方程为

100

=1；
（2）设抛物线方程为y²=2px（p＞0），
∵抛物线与双曲线的交点为(

，

)，
∴6=2p×

，可得p=2，
可得抛物线方程为y²=4x，准线方程为x=-1
∵双曲线

=1的一个焦点在抛物线的准线上，∴c=1
又∵(

，

)是双曲线

=1上的点
∴

=1，
联解①②，可得a²=

，b²=

，得到双曲线的方程为

=1
∴抛物线的方程为y²=4x，双曲线的方程为

=1．

举一反三

已知F₁（-1，0），F₂（1，0），点p满足|

1|+|

2|=2

，记点P的轨迹为E．
（Ⅰ）求轨迹E的方程；
（Ⅱ）过点F₂（1，0）作直线l与轨迹E交于不同的两点A、B，设

F2A

=λ

F2B

，T（2，0），，若λ∈[-2，-1]，求|

|的取值范围．

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若椭圆

=1与双曲线x2-

=1有相同的焦点，且椭圆与双曲线交于点P(

，y)，求椭圆及双曲线的方程．

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已知F₁（-1，0）、F₂（1，0）为椭圆的焦点，且直线x+y-

=0与椭圆相切．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）过F₁的直线交椭圆于A、B两点，求△ABF₂的面积S的最大值，并求此时直线的方程．

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已知直线x+ky-3=0所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为8．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知圆O：x²+y²=1，直线l：mx+ny=1．试证明：当点P（m，n）在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交，并求直线l被圆O所截得的弦长L的取值范围．

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已知椭圆

=1（a＞b＞0）的焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），且与直线l：x-y-1=0交于A，B两点．
（1）若右顶点到直线l的距离等于

，求椭圆方程．
（2）设△AF₁F₂的重心为M，△BF₁F₂的重心为N，若原点O在以MN为直径的圆内，求a²的取值范围．

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