已知椭圆M的对称轴为坐标轴,且(0,-2)是椭圆M的一个焦点,又点A(1,2)在椭圆M上.(Ⅰ)求椭圆M的方程;(Ⅱ)已知直线l的斜率是2,若直线l与椭圆M交于
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已知椭圆M的对称轴为坐标轴,且(0,-2)是椭圆M的一个焦点,又点A(1,2)在椭圆M上.(Ⅰ)求椭圆M的方程;(Ⅱ)已知直线l的斜率是2,若直线l与椭圆M交于
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆M的对称轴为坐标轴,且(0,
-
2
)是椭圆M的一个焦点,又点A(1,
2
)在椭圆M上.
(Ⅰ)求椭圆M的方程;
(Ⅱ)已知直线l的斜率是
2
,若直线l与椭圆M交于B、C两点,求△ABC面积的最大值.
答案
(Ⅰ)由已知抛物线的焦点为(0,
-
2
),故设椭圆方程为
y
2
a
2
+
x
2
a
2
-2
=1
.
将点A(1,
2
)代入方程得
2
a
2
+
1
a
2
-2
=1
,整理得a
4
-5a
2
+4=0,
解得a
2
=4或a
2
=1(舍).
故所求椭圆方程为
y
2
4
+
x
2
2
=1
(Ⅱ)设直线BC的方程为
y=
2
x+m
,设B(x
1
,y
1
),C(x
2
,y
2
)
代入椭圆方程并化简得
4
x
2
+2
2
mx+
m
2
-4=0
,
由△=8m
2
-16(m
2
-4)>0,可得m
2
<8①
由
x
1
+
x
2
=-
2
2
m,
x
1
x
2
=
m
2
-4
4
,
故|BC|=
3
|
x
1
-
x
2
|
=
3
•
16-2
m
2
2
.
又点A到BC的距离为d=
|m|
3
,
故S
△ABC
=
1
2
|BC|d
=
m
2
(16-2
m
2
)
4
≤
1
4
2
•
2
m
2
+(16-2
m
2
)
2
=
2
,
当且仅当2m
2
=16-2m
2
,即m=±2时取等号(满足①式)
所以△ABC面积的最大值为
2
.
举一反三
已知
0<α<
π
2
,方程x
2
sinα+y
2
cosα=1表示焦点在y轴上的椭圆,则α的取值范围______.
题型:不详
难度:
|
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已知一条抛物线和一个椭圆都经过点M(1,2),它们在x轴上具有相同的焦点F
1
,且两者的对称轴都是坐标轴,抛物线的顶点在坐标原点.
(1)求抛物线的方程和椭圆方程;
(2)假设椭圆的另一个焦点是F
2
,经过F
2
的直线l与抛物线交于P,Q两点,且满足
F
2
P
=m
F
2
Q
,求m的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
x
2
9
+
y
2
5
=1
的两个焦点分别是F
1
、F
2
,△MF
1
F
2
的重心G恰为椭圆上的点,则点M的轨迹方程为______.
题型:不详
难度:
|
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离心率e=
2
3
,短轴长为8
5
的椭圆标准方程为______.
题型:不详
难度:
|
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求满足下列条件的椭圆的标准方程.
(1)焦点在坐标轴上,且经过两点
P(
1
3
,
1
3
),Q(0,-
1
2
)
;
(2)经过点(2,-3)且与椭圆9x
2
+4y
2
=36具有共同的焦点.
题型:不详
难度:
|
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