椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，该椭圆经过点P(1，32)且离心率为12．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交A，B两点（A

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椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，该椭圆经过点P(1，32)且离心率为12．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交A，B两点（A

题型：不详难度：来源：
椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，该椭圆经过点P(1，
3
2
)且离心率为
1
2
．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
答案
（1）椭圆的标准方程为
x2
4
+
y2
3
=1（4分）
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），





y=kx+m
x2
4
+
y2
3
=1
得：（3+4k2）x2+8kmx+4（m2-3）=0，
∵△＞0，∴3+4k2-m2＞0，
x1+x2=-
8mk
3+4k2
，x1x2=
4(m2-3)
3+4k2
∴y1y2=
3(m2-4k2)
3+4k2
（6分）
∵以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，∴kAD•kBD=-1，
∴y1y2+x1x2-2（x1+x2）+4=0，∴7m2+16mk+4k2=0，
∴m1=-2k，m2=-
2
7
k，且均满足3+4k2-m2＞0，（9分）
当m1=-2k时，l的方程为y=k（x-2），则直线过定点（2，0）与已知矛盾
当m1=-
2
7
k时，l的方程为y=k(x-
2
7
)，则直线过定点(
2
7
，0)
∴直线l过定点，定点坐标为(
2
7
，0)（12分）
举一反三
直线l：2x-3y+12=0与x轴、y轴分别交于A、B两点，则以A为焦点，经过B点的椭圆的标准方程是______．
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已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1和F2，下顶点为A，直线AF1与椭圆的另一个交点为B，△ABF2的周长为8，直线AF1被圆O：x2+y2=b2截得的弦长为3．
（I）求椭圆C的方程；
（II）若过点P（1，3）的动直线l与圆O相交于不同的两点C，D，在线段CD上取一点Q满足：


CP
=-λ


PD
，


CQ
=λ


QD
，λ≠0且λ≠±1．求证：点Q总在某定直线上．
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已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为


3
2
，两个焦点分别为F1和F2，椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12．圆C：x2+y2+2x-4y-20=0的圆心为点A．
（1）求椭圆G的方程；  
（2）求△AF1F2面积；
（3）求经过点（-3，4）且与圆C相切的直线方程；
（4）椭圆G是否在圆C的内部，请说明理由．
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设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)上的两点，已知O为坐标原点，椭圆的离心率e=


3
2
，短轴长为2，且


m
=(
x1
b
，
y1
a
)，


n
=(
x2
b
，
y2
a
)，若


m
•


n
=0．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．
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若椭圆的两焦点为（-2，0）和（2，0），且椭圆过点(
5
2
，-
3
2
)，则椭圆方程是______．
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