已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1和F2,下顶点为A,直线AF1与椭圆的另一个交点为B,△ABF2的周长为8,直线AF1被圆
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已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1和F2,下顶点为A,直线AF1与椭圆的另一个交点为B,△ABF2的周长为8,直线AF1被圆
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)的左、右焦点分别为F
1
和F
2
,下顶点为A,直线AF
1
与椭圆的另一个交点为B,△ABF
2
的周长为8,直线AF
1
被圆O:x
2
+y
2
=b
2
截得的弦长为3.
(I)求椭圆C的方程;
(II)若过点P(1,3)的动直线l与圆O相交于不同的两点C,D,在线段CD上取一点Q满足:
CP
=-λ
PD
,
CQ
=λ
QD
,λ≠0且λ≠±1
.求证:点Q总在某定直线上.
答案
(I)∵△ABF
2
的周长为8,∴4a=8,∴a=2
∵F
1
(-c,0),A(0,-b),∴直线AF
1
的方程为
x
-c
+
y
-b
=1
,即bx+cy+bc=0
∵直线AF
1
被圆O:x
2
+y
2
=b
2
截得的弦长为3,O到直线AF
1
的距离d=
bc
b
2
+
c
2
=
bc
2
.
∴
(
bc
2
)
2
+
9
4
=
b
2
∴b
2
c
2
+9=4b
2
∵c
2
=4-b
2
,∴b
2
=3
∴椭圆C的方程为
x
2
4
+
y
2
3
=1
;
(II)证明:设C(x
1
,y
1
),D(x
2
,y
2
),Q(x,y),
∵
CP
=-λ
PD
,∴(1-x
1
,3-y
1
)=-λ(x
2
-1,y
2
-3)
∴
1-
x
1
=-λ(
x
2
-1)
3-
y
1
=-λ(
y
2
-3)
,即
x
1
-λ
x
2
=1-λ(1)
y
1
-λ
y
2
=3(1-λ)(2)
同理
x
1
+λ
x
2
=(1+λ)x(3)
y
1
+λ
y
2
=(1+λ)y(4)
(1)×(3),得
x
21
-
λ
2
x
22
=(1-λ
2
)x(5)
(2)×(4),得
y
21
-
λ
2
y
22
=3(1-λ
2
)y(6)
(5)+(6),得
x
21
+
y
21
-
λ
2
(
x
22
+
y
22
)
=(1-λ
2
)(x+3y)
∵C,D在圆O上,∴
x
21
+
y
21
=3,
x
22
+
y
22
=3
∴3(1-λ
2
)=(1-λ
2
)(x+3y)
∵λ≠±1,∴x+3y=3
∴点Q总在定直线x+3y-3=0上.
举一反三
已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为
3
2
,两个焦点分别为F
1
和F
2
,椭圆G上一点到F
1
和F
2
的距离之和为12.圆C:x
2
+y
2
+2x-4y-20=0的圆心为点A.
(1)求椭圆G的方程;
(2)求△AF
1
F
2
面积;
(3)求经过点(-3,4)且与圆C相切的直线方程;
(4)椭圆G是否在圆C的内部,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)是椭圆
y
2
a
2
+
x
2
b
2
=1(a>b>0)
上的两点,已知O为坐标原点,椭圆的离心率
e=
3
2
,短轴长为2,且
m
=(
x
1
b
,
y
1
a
),
n
=(
x
2
b
,
y
2
a
)
,若
m
•
n
=0
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)试问:△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
查看答案
若椭圆的两焦点为(-2,0)和(2,0),且椭圆过点
(
5
2
,-
3
2
)
,则椭圆方程是______.
题型:不详
难度:
|
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椭圆过点(3,0),离心率e=
6
3
,求椭圆的标准方程.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C的对称轴在坐标轴上,且过点
(2
2
,-
1
3
)
,
(
5
,
2
3
)
.设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点,求线段AB的中点坐标.
题型:不详
难度:
|
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