已知椭圆C的对称轴在坐标轴上,且过点(22,-13),(5,23).设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点,求线段AB的中点坐标.

已知椭圆C的对称轴在坐标轴上,且过点(22,-13),(5,23).设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点,求线段AB的中点坐标.

题型:不详难度:来源:
已知椭圆C的对称轴在坐标轴上,且过点(2


2
,-
1
3
)
(


5
2
3
)
.设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点,求线段AB的中点坐标.
答案
设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),
由题意得,





m(2


2
)2+n(-
1
3
)2=1
m(


5
)2+n(
2
3
)2=1
,即





8m+
1
9
n=1
5m+
4
9
n=1
,解得m=
1
9
,n=1,
所以椭圆的标准方程是:
x2
9
+y2=1

联立方程组





x2
9
+y2=1
y=x+2
,消去y得,10x2+36x+27=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),AB线段的中点为M(x0,y0),
x1+x2=-
18
5
,x0=
x1+x2
2
=-
9
5

所以y0=x0+2=
1
5

故线段AB中点坐标为(-
9
5
1
5
).
举一反三
离心率e=
1
2
,一个焦点是F(0,-3)的椭圆标准方程为______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)过点P(3,1),其左、右焦点分别为F1,F2,且


F1P


F2P
=-6

(1)求椭圆E的方程;
(2)若M,N是直线x=5上的两个动点,且F1M⊥F2N,则以MN为直径的圆C是否过定点?请说明理由.
题型:卢湾区二模难度:| 查看答案
已知F1,F2为椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的两个焦点,过F2作椭圆的弦AB,若△AF1B的周长为16,椭圆的离心率为e=


3
2
,则椭圆的方程为______.
题型:不详难度:| 查看答案
中心在原点,一个焦点为F1(0,


50
)的椭圆截直线y=3x-2所得的弦的中点的横坐标为
1
2
,求椭圆的方程.
题型:不详难度:| 查看答案
设椭圆M:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的离心率为


2
2
,长轴长为6


2
,设过右焦点F倾斜角为θ的直线交椭圆M于A,B两点.
(Ⅰ)求椭圆M的方程;
(Ⅱ)求证|AB|=
6


2
1+sin2θ

(Ⅲ)设过右焦点F且与直线AB垂直的直线交椭圆M于C,D,求|AB|+|CD|的最小值.
题型:不详难度:| 查看答案
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