中心在原点,一个焦点为F1(0,50)的椭圆截直线y=3x-2所得的弦的中点的横坐标为12,求椭圆的方程.
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中心在原点,一个焦点为F1(0,50)的椭圆截直线y=3x-2所得的弦的中点的横坐标为12,求椭圆的方程.
题型:不详
难度:
来源:
中心在原点,一个焦点为F
1
(0,
50
)的椭圆截直线y=3x-2所得的弦的中点的横坐标为
1
2
,求椭圆的方程.
答案
设椭圆的标准方程为
y
2
a
2
+
x
2
b
2
=1(a>b>0),由F
1
(0,
50
)得a
2
-b
2
=50.
把直线方程y=3x-2代入椭圆方程整理得(a
2
+9b
2
)x
2
-12b
2
x+b
2
(4-a
2
)=0.
设弦的两个端点为A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),则由根与系数的关系得x
1
+x
2
=
12
b
2
a
2
+9
b
2
,
又AB的中点的横坐标为
1
2
,∴
x
1
+
x
2
2
=
6
b
2
a
2
+9
b
2
=
1
2
,
∴a
2
=3b
2
,与方程a
2
-b
2
=50联立可解出a
2
=75,b
2
=25.
故椭圆的方程为
y
2
75
+
x
2
25
=1.
举一反三
设椭圆M:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)的离心率为
2
2
,长轴长为
6
2
,设过右焦点F倾斜角为θ的直线交椭圆M于A,B两点.
(Ⅰ)求椭圆M的方程;
(Ⅱ)求证|AB|=
6
2
1+
sin
2
θ
;
(Ⅲ)设过右焦点F且与直线AB垂直的直线交椭圆M于C,D,求|AB|+|CD|的最小值.
题型:不详
难度:
|
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(1)两个焦点的坐标分别是(-4,0),(4,0),椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10;
(2)两个焦点的坐标分别是(0,-2)、(0,2),并且椭圆经过点(-
3
2
,
5
2
).
题型:不详
难度:
|
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已知方程
x
2
|m|-1
+
y
2
2-m
=1
表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是______.
题型:不详
难度:
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过点(2,-3)且与椭圆9x
2
+4y
2
=36有共同的焦点的椭圆的标准方程为______.
题型:不详
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设M(-5,0),N(5,0),△MNP的周长是36,则△MNP的顶点P的轨迹方程为______.
题型:不详
难度:
|
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