如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2,AD=4,tanC=43,∠ADC=∠DAB=90°,P是腰BC上一个动点(不含点B、C),作PQ⊥AP交CD于点

如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2,AD=4,tanC=43,∠ADC=∠DAB=90°,P是腰BC上一个动点(不含点B、C),作PQ⊥AP交CD于点

题型:不详难度:来源:
如图,在梯形ABCD中,ABCD,AB=2,AD=4,tanC=
4
3
,∠ADC=∠DAB=90°,P是腰BC上一个动点(不含点B、C),作PQ⊥AP交CD于点Q.(图1)
(1)求BC的长与梯形ABCD的面积;
(2)当PQ=DQ时,求BP的长;(图2)
(3)设BP=x,CQ=y,试求y关于x的函数解析式,并写出定义域.
答案
(1)作BH⊥CD,垂足为H,(1分)
则四边形ABHD为矩形;
∴BH=DA=4,DH=AB=2;(1分)
在Rt△BCH中,tanC=
4
3

CH=
BH
tanC
=3
,(1分)BC=


BH2+CH2
=5
;(1分)
又CD=CH+DH=5,
∴S梯形ABCD=
1
2
(AB+CD)AD=14
;(1+1=2分)

(2)连接AQ,
由DQ=PQ,可知△ADQ≌△APQ,AP=AD=4;(1分)
作PE⊥AB交AB的延长线于点E,(1分)
在Rt△BPE中,tan∠PBE=tanC=
4
3

令BE=3k,PE=4k.
则在Rt△APE中,AP2=AE2+PE2,(1分)
即42=(2+3k)2+(4k)2,解得:k=
4


21
-6
25
;(1分)
BP=


BE2+PE2
=5k=
4


21
-6
5
;(1分)

(3)作PF⊥CD交CD于点F,
由∠AEF=∠EFD=∠APQ=90°,
可得:△AEP△PFQ;
QF
PF
=
EP
AE
,即
QF
4-
4
5
x
=
4
5
x
2+
3
5
x

化简得:QF=
80x-16x2
50+15x
;(1分)
CF=
3
4
PF=3-
3
5
x

y=CF+FQ=(3-
3
5
x)+
80x-16x2
50+15x
=
-5x2+19x+30
3x+10
;(1分)
定义域为(0<x<5).(1分)
举一反三
(1)如图1所示,在四边形ABCD中,AC=BD,AC与BD相交于点O,E,F分别是AD、BC的中点,连接EF,分别交AC、BD于点M,N,试判断△OMN的形状,并加以证明;(提示:利用三角形中位线定理)
(2)如图2,在四边形ABCD中,若AB=CD,E,F分别是AD、BC的中点,连接FE并延长,分别与BA,CD的延长线交于点M,N,请在图2中画图并观察,图中是否有相等的角?若有,请直接写出结论:______;
(3)如图3,在△ABC中,AC>AB,点D在AC上,AB=CD,E,F分别是AD、BC的中点,连接FE并延长,与BA的延长线交于点M,若∠FEC=45°,判断点M与以AD为直径的圆的位置关系,并简要说明理由.
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如图,在梯形ABCD中,ADBC,且AD=3,BC=9,则S△AOD:S△BOC为(  )
A.1:3B.1:9C.1:


3
D.2:5

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如图,在梯形ABCD中,ADBC,∠B=90°,AB=14cm,AD=15cm,BC=21cm,点M从A点开始,沿AD边向D运动,速度为1厘米/秒,点N从点C开始沿CB边向点B运动,速度为2厘米/秒,设四边形MNCD的面积为S.
(1)写出面积S与时间t之间的函数关系式;
(2)当t为何值时,四边形MNCD是平行四边形?
(3)当t为何值时,四边形MNCD是等腰梯形?
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如图,已知直角梯形ABCD中,ADBC(AD<BC),∠B=90°,AB=AD+BC.点E是CD的中点,点F是AB上的点,∠ADF=45°,FE=a,梯形ABCD的面积为m.
(1)求证:BF=BC;
(2)求△DEF的面积(用含a、m的代数式表示)
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以3,5,5,11为边作梯形,这样的梯形有(  )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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