已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=12,且原点O到直线xa+yb=1的距离为d=2217.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)过点M(3,0)作
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已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=12,且原点O到直线xa+yb=1的距离为d=2217.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)过点M(3,0)作
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的离心率e=
1
2
,且原点O到直线
x
a
+
y
b
=1
的距离为d=
2
21
7
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点M(
3
,0)作直线与椭圆C交于P、Q两点,求△OPQ面积的最大值.
答案
(1)∵
e=
c
a
=
1
2
,∴a
2
=4c
2
=4(a
2
-b
2
),即4b
2
=3a
2
,(1)(2分)
又∵直线方程为
x
a
+
y
b
=1
,即bx+ay=ab,
∴d=
ab
a
2
+
b
2
=
2
21
7
,即7a
2
b
2
=12(a
2
+b
2
)(2)(4分)
联立(1)(2)解得a
2
=4,b
2
=3,∴椭圆方程为
x
2
4
+
y
2
3
=1
.(6分)
(2)由题意,设直线
PQ:x=my+
3
,
代入椭圆C:3x
2
+4y
2
=12,化简,得
(3
m
2
+4)
y
2
+6
3
my-3=0
,
△=
(6
3
m)
2
+12(3
m
2
+4)=48(3
m
2
+1)>0
,则△OPQ的面积为
S=
1
2
|OM||
y
1
-
y
2
|=
3
2
×
△
3
m
2
+4
=
6
3
m
2
+1
3
m
2
+4
,(9分)
∴
S=
6
3
m
2
+1
(3
m
2
+1)+3
≤
6
3
m
2
+1
2
3(3
m
2
+1)
=
3
,
所以,当
3
m
2
+1=3,
m
2
=
2
3
时,△OPQ面积的最大值为
3
.(12分)
举一反三
已知椭圆的两个焦点
F
1
(-
3
,0),
F
2
(
3
,0)
,过F
1
且与坐标轴不平行的直线l
1
与椭圆相交于M,N两点,如果△MNF
2
的周长等于8.
(I)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若过点(1,0)的直线l与椭圆交于不同两点P、Q,试问在x轴上是否存在定点E(m,0),使
PE
•
QE
恒为定值?若存在,求出E的坐标及定值;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆的中心在原点,对称轴为坐标轴,焦点在x轴上,短轴的一个顶点B与两个焦点F
1
,F
2
组成的三角形的周长为4+2
3
,且∠F
1
BF
2
=
2π
3
,求椭圆的标准方程.
题型:不详
难度:
|
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已知曲线
x
2
m-1
-
y
2
m-2
=1
表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围为______.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
=1
与双曲线
=1
有相同的准线,则动点P(n,m)的轨迹为( )
A.椭圆的一部分
B.双曲线的一部分
C.抛物线的一部分
D.直线的一部分
题型:武汉模拟
难度:
|
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(1)已知椭圆中心在原点,焦点在x轴,长轴长为短轴长的3倍,且过点P(3,2),求此椭圆的方程;
(2)求与双曲线
x
2
5
-
y
2
3
=1
有公共渐近线,且焦距为8的双曲线的方程.
题型:不详
难度:
|
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