已知椭圆C的中心在原点O,离心率e=32,右焦点为F(3,0).(1)求椭圆C的方程;(2)设椭圆的上顶点为A,在椭圆C上是否存在点P,使得向量OP+OA与FA
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已知椭圆C的中心在原点O,离心率e=32,右焦点为F(3,0).(1)求椭圆C的方程;(2)设椭圆的上顶点为A,在椭圆C上是否存在点P,使得向量OP+OA与FA
题型:江门一模
难度:
来源:
已知椭圆C的中心在原点O,离心率
e=
3
2
,右焦点为
F(
3
,0)
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆的上顶点为A,在椭圆C上是否存在点P,使得向量
OP
+
OA
与
FA
共线?若存在,求直线AP的方程;若不存在,简要说明理由.
答案
(1)设椭圆C的方程为
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
,
∵椭圆C的离心率
e=
3
2
,右焦点为
F(
3
,0)
,∴
c
a
=
3
2
,c=
3
,
∵a
2
=b
2
+c
2
,∴
a=2,b=1,c=
3
,
故椭圆C的方程为
x
2
4
+
y
2
=1
.
(2)假设椭圆C上是存在点P(x
0
,y
0
),使得向量
OP
+
OA
与
FA
共线,
∵
OP
+
OA
=(
x
0
,
y
0
+1)
,
FA
=(-
3
,1)
,∴
x
0
-
3
=
y
0
+1
1
,即
x
0
=-
3
(
y
0
+1)
,(1)
又∵点P(x
0
,y
0
)在椭圆
x
2
4
+
y
2
=1
上,∴
x
0
2
4
+
y
0
2
=1
(2),
由(1)、(2)组成方程组解得
x
0
=0
y
0
=-1
,或
x
0
=-
8
3
7
y
0
=
1
7
,
∴P(0,-1),或
P(-
8
3
7
,
1
7
)
,
当点P的坐标为(0,-1)时,直线AP的方程为x=0,
当点P的坐标为
P(-
8
3
7
,
1
7
)
时,直线AP的方程为
3
x-4y+4=0
,
故椭圆上存在满足条件的点P,直线AP的方程为x=0或
3
x-4y+4=0
.
举一反三
已知椭圆的方程为
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0),离心率e=
2
2
,F
1
,F
2
分别是椭圆的左、右焦点,过椭圆的左焦点F
1
且垂直于长轴的直线交椭圆于M、N两点,且|MN|=
2
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知直线l与椭圆相交于P,Q两点,O为原点,且OP⊥OQ.试探究点O到直线l的距离是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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在圆x
2
+y
2
=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段,D为垂足,点M在线段PD上,且|DP|=
2
|DM|,点P在圆上运动.
(Ⅰ)求点M的轨迹方程;
(Ⅱ)过定点C(-1,0)的直线与点M的轨迹交于A、B两点,在x轴上是否存在点N,使
NA
•
NB
为常数,若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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设椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的离心率e=
1
2
,右焦点到直线
x
a
+
y
b
=1的距离d=
21
7
,O为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点O作两条互相垂直的射线,与椭圆C分别交于A,B两点,证明点O到直线AB的距离为定值.并求出定值.
题型:不详
难度:
|
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在平面直角坐标系xoy中,椭圆E:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>0,b>0)经过点A(
6
2
,
2
),且点F(0,-1)为其一个焦点.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设椭圆E与y轴的两个交点为A
1
,A
2
,不在y轴上的动点P在直线y=b
2
上运动,直线PA
1
,PA
2
分别与椭圆E交于点M,N,证明:直线MN通过一个定点,且△FMN的周长为定值.
题型:不详
难度:
|
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已知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆,其离心率e=
2
2
,且经过抛物线x
2
=4y的焦点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若过点B(2,0)的直线l与椭圆交于不同的亮点E、F(E在B、F之间)且
BE
=λ
BF
,试求实数λ的取值范围.
题型:淄博一模
难度:
|
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