已知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆,其离心率e=22,且经过抛物线x2=4y的焦点.(1)求椭圆的标准方程;(2)若过点B(2,0)的直线l与椭圆交于不同的亮点
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已知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆,其离心率e=22,且经过抛物线x2=4y的焦点.(1)求椭圆的标准方程;(2)若过点B(2,0)的直线l与椭圆交于不同的亮点
题型:淄博一模
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来源:
已知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆,其离心率e=
2
2
,且经过抛物线x
2
=4y的焦点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若过点B(2,0)的直线l与椭圆交于不同的亮点E、F(E在B、F之间)且
BE
=λ
BF
,试求实数λ的取值范围.
答案
(1)设椭圆方程为
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)
∵椭圆的离心率e=
2
2
,且经过抛物线x
2
=4y的焦点
∴
c
a
=
2
2
,b=1
∴a
2
=2
∴椭圆的标准方程为
x
2
2
+
y
2
=1
;
(2)由题意知l的斜率存在且不为零,
设l方程为x=my+2(m≠0)①,代入
x
2
2
+
y
2
=1
,整理得(m
2
+2)y
2
+4my+2=0,由△>0得m
2
>2.
设E(x
1
,y
1
),F(x
2
,y
2
),则
∵
BE
=λ
BF
,(x
1
-2,y
1
)=λ(x
2
-2,y
2
),
∴y
1
=λy
2
,
∵
y
1
+
y
2
=
-4m
m
2
+2
,
y
1
y
2
=
2
m
2
+2
∴
(1+λ
)
2
λ
=
8
m
2
m
2
+2
=
8
1+
2
m
2
∵m
2
>2,∴4<
8
1+
2
m
2
<8
∴4<
(1+λ)
2
λ
<8
∵λ>0
∴
3-2
2
<λ<3+2
2
且λ≠1.
举一反三
已知点(x,y)在曲线C上,将此点的纵坐标变为原来的2倍,对应的横坐标不变,得到的点满足方程x
2
+y
2
=8;定点M(2,1),平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m≠0),直线l与曲线C交于A、B两个不同点.
(1)求曲线C的方程;
(2)求m的取值范围.
题型:惠州模拟
难度:
|
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椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在y轴上,离心率
e=
2
2
,椭圆上的点到焦点的最短距离为1-e,直线l与y轴交于点P(0,m),与椭圆C交于相异两点A、B,且
AP
=λ
PB
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若
OA
+λ
OB
=4
OP
,求m的取值范围.
题型:如东县三模
难度:
|
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已知中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆C的离心率为
3
2
,点A,B分别是椭圆C的长轴、短轴的端点,点O到直线AB的距离为
6
5
5
.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知点E(3,0),设点P、Q是椭圆C上的两个动点,满足EP⊥EQ,求
EP
•
QP
的取值范围.
题型:镇江一模
难度:
|
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如果一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍,那么这个椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
题型:广州一模
难度:
|
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如图,线段AB过y轴负半轴上一点M(0,a),A、B两点到y轴距离的差为2k.
(Ⅰ)若AB所在的直线的斜率为k(k≠0),求以y轴为对称轴,且过A、O、B三点的抛物线的方程;
(Ⅱ)设(1)中所确定的抛物线为C,点M是C的焦点,若直线AB的倾斜角为60°,又点P在抛物线C上由A到B运动,试求△PAB面积的最大值.
题型:揭阳二模
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|
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