在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，点M在线段PD上，且|DP|=2|DM|，点P在圆上运动．（Ⅰ）求点M的轨迹方程；（Ⅱ）过定点C

题型：不详难度：来源：

在圆x²+y²=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，点M在线段PD上，且|DP|=

|DM|，点P在圆上运动．
（Ⅰ）求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）过定点C（-1，0）的直线与点M的轨迹交于A、B两点，在x轴上是否存在点N，使

•

为常数，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

（I）设M（x，y），由题意D（x，0），P（x，y₁）
∵|DP|=

|DM|，∴|y1|=

|y|
∵P（x，y₁）在圆x²+y²=4上，∴x2+y12=4
∴x²+2y²=4
∴点M的轨迹C的方程为

=1(x≠±2)；
（Ⅱ）假设存在N（n，0）
AB斜率存在时，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB方程：y=k（x+1），
代入椭圆方程得：（2k²+1）x²+4k²x+2k²-4=0，∴x₁+x₂=-

4k2

1+2k2

，x₁x₂=

2k2-4

1+2k2

∵

=(x1-n，y1)，

=(x2-n，y2)，
∴

•

=（x₁-n，y₁）•（x₂-n，y₂）=（1+k²）x₁x₂+(k2-n)(x1+x2)+k2+n2=

(2n2+4n-1)-

2n+

1+2k2

∵

•

是与k无关的常数，
∴2n+

=0
∴n=-

，即N（-

，0），此时

•

当直线AB与x垂直时，n=-

时

•

综上所述，在x轴上存在定点N（-

，0），使

•

为常数．

举一反三

设椭圆C：

=1（a＞b＞0）的离心率e=

，右焦点到直线

=1的距离d=

，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明点O到直线AB的距离为定值．并求出定值．

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在平面直角坐标系xoy中，椭圆E：

=1（a＞0，b＞0）经过点A（

，

），且点F（0，-1）为其一个焦点．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设椭圆E与y轴的两个交点为A₁，A₂，不在y轴上的动点P在直线y=b²上运动，直线PA₁，PA₂分别与椭圆E交于点M，N，证明：直线MN通过一个定点，且△FMN的周长为定值．

题型：不详难度：| 查看答案

已知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆，其离心率e=

，且经过抛物线x²=4y的焦点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过点B（2，0）的直线l与椭圆交于不同的亮点E、F（E在B、F之间）且

=λ

，试求实数λ的取值范围．魔方格

题型：淄博一模难度：| 查看答案

已知点（x，y）在曲线C上，将此点的纵坐标变为原来的2倍，对应的横坐标不变，得到的点满足方程x²+y²=8；定点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），直线l与曲线C交于A、B两个不同点．
（1）求曲线C的方程；
（2）求m的取值范围．

题型：惠州模拟难度：| 查看答案

椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率e=

，椭圆上的点到焦点的最短距离为1-e，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且

=λ

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若

+λ

，求m的取值范围．

题型：如东县三模难度：| 查看答案