设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=12,右焦点到直线xa+yb=1的距离d=217,O为坐标原点.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)过点O作两
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设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=12,右焦点到直线xa+yb=1的距离d=217,O为坐标原点.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)过点O作两
题型:不详
难度:
来源:
设椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的离心率e=
1
2
,右焦点到直线
x
a
+
y
b
=1的距离d=
21
7
,O为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点O作两条互相垂直的射线,与椭圆C分别交于A,B两点,证明点O到直线AB的距离为定值.并求出定值.
答案
(I)由右焦点到直线
x
a
+
y
b
=1的距离d=
21
7
,可得
|bc-ab|
a
2
+
b
2
=
21
7
,化为3(a
2
+b
2
)=7(bc-ab)
2
,又
e=
c
a
=
1
2
,联立得
3(
a
2
+
b
2
)=7(bc-ab
)
2
a=2c
a
2
=
b
2
+
c
2
,解得
a
2
=4
b
2
=3,c=1
,
∴椭圆C的方程为
x
2
4
+
y
2
3
=1
.
(II)设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
(1)直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+m,联立
y=kx+m
x
2
4
+
y
2
3
=1
消去y得(3+4k
2
)x
2
+8kmx+4m
2
-12=0,
∴
x
1
+
x
2
=-
8km
3+4
k
2
,
x
1
x
2
=
4
m
2
-12
3+4
k
2
.
∵OA⊥OB,∴x
1
x
2
+y
1
y
2
=0,∴x
1
x
2
+(kx
1
+m)(kx
2
+m)=0,即
(
k
2
+1)
x
1
x
2
+km(
x
1
+
x
2
)+
m
2
=0
,
∴
(
k
2
+1)(4
m
2
-12)
3+4
k
2
-
8
k
2
m
2
3+4
k
2
+
m
2
=0
,整理得7m
2
=12(k
2
+1),并且满足△>0.
所以O到直线AB的距离
d=
|m|
k
2
+1
=
12
7
=
2
21
7
为定值.
(2)直线AB斜率不存在时,直线AB的方程为:
x
2
+
y
3
=1
,化为
3
x-2y-2
3
=0
,点O到直线AB的距离为
2
3
3+4
=
2
21
7
为定值.
综上(1)(2)可知:点O到直线AB的距离为定值
2
21
7
.
举一反三
在平面直角坐标系xoy中,椭圆E:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>0,b>0)经过点A(
6
2
,
2
),且点F(0,-1)为其一个焦点.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设椭圆E与y轴的两个交点为A
1
,A
2
,不在y轴上的动点P在直线y=b
2
上运动,直线PA
1
,PA
2
分别与椭圆E交于点M,N,证明:直线MN通过一个定点,且△FMN的周长为定值.
题型:不详
难度:
|
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已知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆,其离心率e=
2
2
,且经过抛物线x
2
=4y的焦点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若过点B(2,0)的直线l与椭圆交于不同的亮点E、F(E在B、F之间)且
BE
=λ
BF
,试求实数λ的取值范围.
题型:淄博一模
难度:
|
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已知点(x,y)在曲线C上,将此点的纵坐标变为原来的2倍,对应的横坐标不变,得到的点满足方程x
2
+y
2
=8;定点M(2,1),平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m≠0),直线l与曲线C交于A、B两个不同点.
(1)求曲线C的方程;
(2)求m的取值范围.
题型:惠州模拟
难度:
|
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椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在y轴上,离心率
e=
2
2
,椭圆上的点到焦点的最短距离为1-e,直线l与y轴交于点P(0,m),与椭圆C交于相异两点A、B,且
AP
=λ
PB
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若
OA
+λ
OB
=4
OP
,求m的取值范围.
题型:如东县三模
难度:
|
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已知中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆C的离心率为
3
2
,点A,B分别是椭圆C的长轴、短轴的端点,点O到直线AB的距离为
6
5
5
.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知点E(3,0),设点P、Q是椭圆C上的两个动点,满足EP⊥EQ,求
EP
•
QP
的取值范围.
题型:镇江一模
难度:
|
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