(Ⅰ)由题得过两点A(4,0),B(0,2),直线l的方程为x+2y-4=0.…(1分) 因为=,所以a=2c,b=c. 设椭圆方程为+=1, 由,消去x得,4y2-12y+12-3c2=0. 又因为直线l与椭圆C相切,所以△=122-4×4(12-3c2)=0,解得c2=1. 所以椭圆方程为+=1.…(5分) (Ⅱ)∵直线m的斜率存在,∴设直线m的方程为y=k(x-4),…(6分) 由,消去y, 整理得(3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0.…(7分) 由题意知△=(32k2)2-4(3+4k2)(64k2-12)>0, 解得-<k<.…(8分) 设M(x1,y1),N(x2,y2), 则x1+x2=,x1x2=.…(9分) 又直线l:x+2y-4=0与椭圆C:+=1相切, 由, 解得x=1,y=,所以P(1,).…(10分) 则|AP|2=.所以|AM|•|AN|=×=. 又|AM|•|AN=• =• =(k2+1)(4-x1)(4-x2) =(k2+1)[x1x2 -4(x1+x2)+16 ] =(k2+1)(-4×+16) =(k2+1)•. 所以(k2+1)•=,解得k=±.经检验成立.…(13分) 所以直线m的方程为y=±(x-4).…(14分) |