如图,焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A和B,且AB与n=(2,-1)共线.(Ⅰ)求椭圆E的标准方程;(Ⅱ)若直线y=kx+m与椭圆E有两个不同的交点P和Q,且
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如图,焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A和B,且AB与n=(2,-1)共线.(Ⅰ)求椭圆E的标准方程;(Ⅱ)若直线y=kx+m与椭圆E有两个不同的交点P和Q,且
题型:河南模拟
难度:
来源:
如图,焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A和B,且
AB
与
n
=(
2
,-1)
共线.
(Ⅰ)求椭圆E的标准方程;
(Ⅱ)若直线y=kx+m与椭圆E有两个不同的交点P和Q,且原点O总在以PQ为直径的圆的内部,求实数m的取值范围.
答案
(Ⅰ)设椭圆E的标准方程为
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1 (a>b>0)
,
由已知得A(a,0)、B(0,b),
∴
AB
=(-a,b)
,
∵
AB
与
n
=(
2
,-1)
共线,
∴
a=
2
b
,又a
2
-b
2
=1(3分)
∴a
2
=2,b
2
=1,
∴椭圆E的标准方程为
x
2
2
+
y
2
=1
(5分)
(Ⅱ)设P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
),
把直线方程y=kx+m代入椭圆方程
x
2
2
+
y
2
=1
,
消去y,得,(2k
2
+1)x
2
+4kmx+2m
2
-2=0,
∴
x
1
+
x
2
=-
4km
2
k
2
+1
,
x
1
x
2
=
2
m
2
-2
2
k
2
+1
(7分)
△=16k
2
m
2
-4×(2k
2
+1)(2m
2
-2)=16k
2
-8m
2
+8>0(*) (8分)
∵原点O总在以PQ为直径的圆内,
∴
OP
•
OQ
<0
,即x
1
x
2
+y
1
y
2
<0(9分)
又
y
1
y
2
=(k
x
1
+m)(k
x
1
+m)=
k
2
x
1
x
2
+mk(
x
1
+
x
2
)+
m
2
=
m
2
-2
k
2
2
k
2
+1
由
m
2
-2
k
2
2
k
2
+1
+
2
m
2
-2
2
k
2
+1
<0
得
m
2
<
2
3
k
2
+
2
3
,
依题意
m
2
<
2
3
且满足(*) (11分)
故实数m的取值范围是
(-
6
3
,
6
3
)
(12分)
举一反三
已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的离心率为
1
2
,直线l过点A(4,0),B(0,2),且与椭圆C相切于点P.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)是否存在过点A(4,0)的直线m与椭圆C相交于不同的两点M、N,使得36|AP|
2
=35|AM|•|AN|?若存在,试求出直线m的方程;若不存在,请说明理由.
题型:浙江模拟
难度:
|
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已知直线y=-x+m与椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
相交于A、B两点,若椭圆的离心率为
3
3
,焦距为2.
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)若向量
OA
•
OB
=0(其中0为坐标原点),求m的值.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
上的任意一点到它的两个焦点F
1
(-c,0),F
2
(c,0)(c>0)的距离之和为
2
2
,且其焦距为2.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知直线x-y+m=0与椭圆C交于不同的两点A,B.问是否存在以A,B为直径的圆过椭圆的右焦点F
2
.若存在,求出m的值;不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知,椭圆C过点A
(1,
3
2
)
,两个焦点为(-1,0),(1,0).
(1)求椭圆C的方程;
(2)E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.
题型:辽宁
难度:
|
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已知直线y=-x+1与椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)相交于A、B两点.
(1)若椭圆的离心率为
3
3
,焦距为2,求椭圆的标准方程;
(2)若OA⊥OB(其中O为坐标原点),当椭圆的离率e∈
[
1
2
,
2
2
]
时,求椭圆的长轴长的最大值.
题型:不详
难度:
|
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