已知双曲线的焦点在y轴上，两顶点间的距离为4，渐近线方程为y=±2x．（Ⅰ）求双曲线的标准方程；（Ⅱ）设（Ⅰ）中双曲线的焦点F1，F2关于直线y=x的对称点分别 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

已知双曲线的焦点在y轴上，两顶点间的距离为4，渐近线方程为y=±2x．
（Ⅰ）求双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中双曲线的焦点F₁，F₂关于直线y=x的对称点分别为F₁′，F₂′，求以F₁′，F₂′为焦点，且过点P（0，2）的椭圆方程．

（Ⅰ）因为双曲线的焦点在y轴上，设所求双曲线的方程为

y2

a2

-

x2

b2

=1．
由题意，得

2a=4

a

b

=2

解得a=2，b=1．
所求双曲线的方程为

y2

4

-x2=1
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得F₁（0，-

5

），F₂（0，

5

）．
点F₁，F₂关于直线y=x的对称点分别为F₁′（-

5

，0），F₂′（

5

，0），又P（0，2），设椭圆方程为

x2

m2

+

y2

n2

=1（m＞n＞0）．
由椭圆定义，得2m=6，∴m=3
因为m²-n²=5，所以n²=4．
所以椭圆的方程为

x2

9

+

y2

4

=1．

已知椭圆的焦点F₁（-1，0），F₂（1，0），P是椭圆上一点，且|F₁F₂|是|PF₁|，|PF₂|等差中项，则椭圆的方程是（　　）

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A． $数学公式$ + $数学公式$ =1

B． $数学公式$ + $数学公式$ =1

C． $数学公式$ + $数学公式$ =1

D． $数学公式$ + $数学公式$ =1

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

1

2

，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+

6

=0相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于点Q（1，0）．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，F₁，F₂分别为左，右焦点，离心率为

1

2

，点A在椭圆C上，|

AF1

|=2，|

AF2

题型：

F1A

|=-2

AF2

•

F1A

，过F₂与坐标轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）在线段OF₂上是否存在点M（m，0），使得以线段MP，MQ为邻边的四边形是菱形？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．

如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A和B，且

AB

与

n

=(

2

，-1)共线．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）若直线y=kx+m与椭圆E有两个不同的交点P和Q，且原点O总在以PQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围．魔方格

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

1

2

，直线l过点A（4，0），B（0，2），且与椭圆C相切于点P．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在过点A（4，0）的直线m与椭圆C相交于不同的两点M、N，使得36|AP|²=35|AM|•|AN|？若存在，试求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．