已知P为圆x2+y2=4上任意一点,Q为点P在x轴上的射影,M为线段PQ的中点,(1)求点M的轨迹C的方程;(2)过点E(0,2)的直线l与曲线C交于A、B两点
题型:河北省期末题难度:来源:
已知P为圆x2+y2=4上任意一点,Q为点P在x轴上的射影,M为线段PQ的中点, (1)求点M的轨迹C的方程; (2)过点E(0,2)的直线l与曲线C交于A、B两点,若点O在以AB为直径的圆上或圆外(O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围。 |
答案
解:(1)设M(x,y),则P(x,2y), ∵点P在圆x2+y2=4上, ∴x2+(2y)2=4, 所以点M的轨迹C的方程为+y2=1; (2)依题意,显然l的斜率存在,设l:y=kx+2, 由方程组,消y得(1+4k2)x2+16kx+12=0, ∵直线l与C有两交点, ∴△=(16k)2-4×12·(1+4k2)>0,解得k2>, 且xA+xB=,xA·xB=; 又∠AOB为直角或锐角,xA·xB+yA·yB≥0, 即xA·xB+(kxA+2)(kxB+2)≥0, (1+k2)xA·xB+2k(xA+xB)+4≥0, 所以(1+k2)-2k+4≥0,解得k2≤4, 故直线l的斜率k的取值范围是k∈。 |
举一反三
已知椭圆(a>b>0)的焦点分别是F1(0,-1),F2(0,1),且3a2=4b2, (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设点P在这个椭圆上,且|PF1|-|PF2|=1,求∠F1PF2的余弦值。 |
已知双曲线的焦点在y轴上,两顶点间的距离为4,渐近线方程为y=±2x, (Ⅰ)求双曲线的标准方程; (Ⅱ)设(Ⅰ)中双曲线的焦点F1,F2关于直线y=x的对称点分别为F1′,F2′,求以F1′,F2′为焦点,且过点P(0,2)的椭圆方程。 |
设直线l:y=x+1与椭圆相交于A,B两个不同的点,l与x轴相交于点F, (1)证明:a2+b2>1; (2)若F是椭圆的一个焦点,且,求椭圆的方程。 |
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