解:(1)设椭圆的长半轴长为a,短半轴长为b,半焦距为c, 则,解得, ∴椭圆C的标准方程为。 (2)由方程组消去y,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0, 由题意Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)>0, 整理得:3+4k2-m2>0, ① 设M(x1,y1)、N(x2,y2), 则, 由已知,AM⊥AN,且椭圆的右顶点为A(2,0), ∴(x1-2)(x2-2)+y1y2=0, 即(1+k2)x1x2+(km-2)(x1+x2)+m2+4=0, 也即, 整理得7m2+16mk+4k2=0,解得m=-2k或,均满足①. 当m=-2k时,直线l的方程为y=kx-2k,过定点(2,0),不符合题意,舍去; 当时,直线l的方程为,过定点,故直线l过定点,且定点的坐标为。 |