已知椭圆M：(a＞b＞0)的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为6+4，（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆M交于A，B两点，且以AB

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已知椭圆M：(a＞b＞0)的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为6+4，
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆M交于A，B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求△ABC面积的最大值．

答案

解：（Ⅰ）因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为6+4，
所以2a+2c=6+4，
又椭圆的离心率为，即，所以，
所以a=3，c=2，
所以b=1，椭圆M的方程为。
（Ⅱ）不妨设BC的方程y=n(x-3)(n＞0)，则AC的方程为，
由得，
设，
因为，所以，
同理可得，
所以，
，
设，则，
当且仅当时取等号，
所以△ABC面积的最大值为。