已知椭圆长轴端点为A、B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且，，（1）求椭圆的标准方程；（2）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P、Q两点，问：是否存在直线l，

题型：山西省模拟题难度：来源：

已知椭圆长轴端点为A、B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且，，
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P、Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰好为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）设椭圆方程为，
由题意，且，
∴，
椭圆方程为：。
（2）假设存在直线l，使点F恰好为△PQM的垂心，设，
∵M（0，1），F（1，0），
∴，故，于是设直线l的方程为y=x+m，
由得，
，即，且，
又，且，
由，
得

，
∴，
化简得，解得：m=1，，
当m=1时，P、Q、M三点共线，故舍去，经检验符合条件；
故存在直线l满足条件，其方程为。