已知A，B是圆x2+y2=4上满足条件的两个点，其中O是坐标原点，分别过A，B作x轴的垂线段，交椭圆x2+4y2=4于A1，B1点，动点P满足．(Ⅰ)求动点P的

题型：吉林省模拟题难度：来源：

已知A，B是圆x²+y²=4上满足条件的两个点，其中O是坐标原点，分别过A，B作x轴的垂线段，交椭圆x²+4y²=4于A₁，B₁点，动点P满足．
(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；
(Ⅱ)设S₁和S₂分别表示△PAB和△B₁A₁A的面积，当点P在x轴的上方，点A在x轴的下方时，求S₁+S₂的最大值。

答案

解：(Ⅰ)设，则，①
，②
从而，
由于，所以，进而有，③
根据可得
，
即，
由④²+4×⑤²，并结合①②③，得


，
所以，动点P的轨迹方程为。
(Ⅱ)根据(Ⅰ)，
所以直线AB的方程为，
即，
从而点到直线AB的距离为


又因为，
所以，，
而，
所以，
，
由①+②-2×③得，
从而有

当且仅当时取等号，
所以，，
即S₁+S₂的最大值为2。