(I)先建系,然后根据为定值,可确定点M的轨迹是双曲线, 然后按照求双曲线标准方程的方法求解即可. (II) 先设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理得(1-k2)x2-4kx-6=0. 根据条件可知 ,从而得到k的取值范围. 再利用弦长公式和韦达定理用k表示出|EF|,再利用点到直线的距离公式求出原点O到直线l的距离,从而表示出三角形的面积,这样三角形的面积就表示成了关于k的函数, 再根据,得到关于k的不等式,从而解出k的取值范围,再与前面k的取值范围求交集即可. (Ⅰ)解法1:以O为原点,AB、OD所在直线分别为x轴、y轴,建立平面直角坐标系,则A(-2,0),B(2,0),D(0,2),P(),依题意得 |MA|-|MB|=|PA|-|PB|=<|AB|=4. ∴曲线C是以原点为中心,A、B为焦点的双曲线. 设实平轴长为a,虚半轴长为b,半焦距为c, 则c=2,2a=2,∴a2=2,b2=c2-a2=2.∴曲线C的方程为. 解法2:同解法1建立平面直角坐标系,则依题意可得|MA|-|MB|=|PA|-|PB|< |AB|=4. ∴曲线C是以原点为中心,A、B为焦点的双曲线. 设双曲线的方程为>0,b>0). 则由解得a2=b2=2,∴曲线C的方程为
(Ⅱ)解法1:依题意,可设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理得(1-k2)x2-4kx-6=0. ∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F, ∴ ∴k∈(-,-1)∪(-1,1)∪(1,). 设E(x,y),F(x2,y2),则由①式得x1+x2=,于是 |EF|= = 而原点O到直线l的距离d=, ∴S△DEF= 若△OEF面积不小于2,即S△OEF,则有 ③ 综合②、③知,直线l的斜率的取值范围为[-,-1]∪(1-,1) ∪(1, ). 解法2:依题意,可设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理, 得(1-k2)x2-4kx-6=0. ∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F, ∴ ∴k∈(-,-1)∪(-1,1)∪(1,). 设E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得 |x1-x2|= ③ 当E、F在同一去上时(如图1所示), S△OEF= 当E、F在不同支上时(如图2所示). S△ODE= 综上得S△OEF=于是 由|OD|=2及③式,得S△OEF= 若△OEF面积不小于2 ④ 综合②、④知,直线l的斜率的取值范围为[-,-1]∪(-1, 1)∪(1,). |