已知焦点在x轴上的椭圆x24+y2b2=1,(b>0)F1,F2是它的两个焦点,若椭圆上存在点P,使PF1•PF2=0,则b的取值范围是 ______.
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已知焦点在x轴上的椭圆x24+y2b2=1,(b>0)F1,F2是它的两个焦点,若椭圆上存在点P,使PF1•PF2=0,则b的取值范围是 ______.
题型:不详
难度:
来源:
已知焦点在x轴上的椭圆
x
2
4
+
y
2
b
2
=1,(b>0)
F
1
,F
2
是它的两个焦点,若椭圆上存在点P,使
PF
1
•
PF
2
=0
,则b的取值范围是 ______.
答案
先证一个结论:若B为椭圆短轴端点,则∠F
1
PF
2
≤∠F
1
BF
2
.记∠F
1
PF
2
=θ,
|PF
1
|=r
1
,|PF
2
|=r
2
,cosθ=
r
1
2
+
r
2
2
-4
c
2
2
r
1
r
2
=
(
r
1
+
r
2
)
2
-2
r
1
r
2
-4
c
2
2
r
1
r
2
=
4a
2
-4
c
2
2
r
1
r
2
-1
又r
1
r
2
≤(
r
1
+
r
2
2
)
2
=a
2
,∴cosθ≥
a
2
+
a
2
-4
c
2
2
a
2
=cos∠F
1
BF
2
,当且仅当r
1
=r
2
时等号成立,
即∠F
1
PF
2
≤∠F
1
BF
2
.题中椭圆上存在点P,使得∠F
1
PF
2
=90
0
,当且仅当∠F
1
BF
2
≥90
0
,即
cos∠F
1
BO≤
2
2
等价于b≤
2
2
a=
2
,∴b∈(0,
2
].
故答案为:(0,
2
].
举一反三
已知椭圆
(0<b<2)与y轴交于A、B两点,点F为该椭圆的一个焦点,则△ABF面积的最大值为( )
A.1
B.2
C.4
D.8
题型:福建模拟
难度:
|
查看答案
已知抛物线D的顶点是椭圆
x
2
4
+
y
2
3
=1
的中心,焦点与该椭圆的右焦点重合.
(Ⅰ)求抛物线D的方程;
(Ⅱ)已知动直线l过点P(4,0),交抛物线D于A、B两点.(i)若直线l的斜率为1,求AB的长;(ii)是否存在垂直于x轴的直线m被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为定值?如果存在,求出m的方程;如果不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
查看答案
以知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的两个焦点分别为F
1
(-c,0)和F
2
(c,0)(c>0),过点
E(
a
2
c
,0)
的直线与椭圆相交于A,B两点,且F
1
A
∥
F
2
B,|F
1
A|=2|F
2
B|.
(1)求椭圆的离心率;
(2)求直线AB的斜率;
(3)设点C与点A关于坐标原点对称,直线F
2
B上有一点H(m,n)(m≠0)在△AF
1
C的外接圆上,求
n
m
的值.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
的左、右焦点分别为F
1
、F
2
,点P在椭圆上.若P、F
1
、F
2
是一个直角三角形的三个顶点,则点P到x轴的距离为( )
A.
B.3
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的离心率为
3
2
,且过点(2,0).
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l:y=x+m与椭圆C交于两点A,B,O为坐标原点,若△OAB为直角三角形,求m的值.
题型:不详
难度:
|
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