以知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(-c,0)和F2(c,0)(c>0),过点E(a2c,0)的直线与椭圆相交于A,B两点,且F1

以知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(-c,0)和F2(c,0)(c>0),过点E(a2c,0)的直线与椭圆相交于A,B两点,且F1

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以知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的两个焦点分别为F1(-c,0)和F2(c,0)(c>0),过点E(
a2
c
,0)
的直线与椭圆相交于A,B两点,且F1AF2B,|F1A|=2|F2B|.
(1)求椭圆的离心率;
(2)求直线AB的斜率;
(3)设点C与点A关于坐标原点对称,直线F2B上有一点H(m,n)(m≠0)在△AF1C的外接圆上,求
n
m
的值.
答案
(1)由F1AF2B且|F1A|=2|F2B|,
|
EF2
EF1
|=|
F2B
F1A
|=
1
2
,从而
a2
c
-c
a2
c
+c
=
1
2

整理,得a2=3c2,故离心率e=
c
a
=


3
3

(2)由(I)得b2=a2-c2=2c2
所以椭圆的方程可写为2x2+3y2=6c2
设直线AB的方程为y=k(x-
a2
c
)
,即y=k(x-3c).
由已知设A(x1,y1),B(x2,y2),
则它们的坐标满足方程组





y=k(x-3c)
2x2+3y2=6c2

消去y整理,得(2+3k2)x2-18k2cx+27k2c2-6c2=0.
依题意,△=48c2(1-3k2)>0,得-


3
3
<k<


3
3

x1+x2=
18k2c
2+3k2

x1x2=
27k2c2-6c2
2+3k2

由题设知,点B为线段AE的中点,所以x1+3c=2x2
联立①③解得x1=
9k2c-2c
2+3k2
x2=
9k2c+2c
2+3k2

将x1,x2代入②中,解得k=±


2
3

(III)解法一:由(II)可知x1=0,x2=
3c
2

k=-


2
3
时,得A(0,


2
c)
,由已知得C(0,-


2
c)

线段AF1的垂直平分线l的方程为y-


2
2
c=-


2
2
(x+
c
2
)
直线l与x轴
的交点(
c
2
,0)
是△AF1C外接圆的圆心,
因此外接圆的方程为(x-
c
2
)2+y2=(
c
2
+c)2

直线F2B的方程为y=


2
(x-c)

于是点H(m,n)的坐标满足方程组





(m-
c
2
)2+n2=
9c2
4
n=


2
(m-c)

由m≠0,解得





m=
5
3
c
n=
2


2
3
c
n
m
=
2


2
5

k=


2
3
时,同理可得
n
m
=-
2


2
5

解法二:由(II)可知x1=0,x2=
3c
2

k=-


2
3
时,得A(0,


2
c)
,由已知得C(0,-


2
c)

由椭圆的对称性可知B,F2,C三点共线,
因为点H(m,n)在△AF1C的外接圆上,
且F1AF2B,所以四边形AF1CH为等腰梯形.
由直线F2B的方程为y=


2
(x-c)

知点H的坐标为(m,


2
m-


2
c)

因为|AH|=|CF1|,所以m2+(


2
m-


2
c-


2
c)2=a2
,解得m=c(舍),或m=
5
3
c

n=
2


2
3
c
,所以
n
m
=
2


2
5
.当k=


2
3
时同理可得
n
m
=-
2


2
5
举一反三
已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,点P在椭圆上.若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点,则点P到x轴的距离为(   )
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A.B.3C.D.
椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为


3
2
,且过点(2,0).
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l:y=x+m与椭圆C交于两点A,B,O为坐标原点,若△OAB为直角三角形,求m的值.
已知定点N(1,0),动点A、B分别在图中抛物线y2=4x及椭圆
x2
4
+
y2
3
=1
的实线部分上运动,且ABx轴,则△NAB的周长L的取值范围是______.
21、已知|


EF
|=2c,|


EF
|=2a(a>c),2


EH
=


EG
,2


EO
=


EF


HP


EG
=0(G为动点)(a>c).
(1)建立适当的平面直角坐标系,求出点P的轨迹方程;
(2)若点P的轨迹上存在两个不同的点A、B,且线段AB的中垂线与EF(或EF的延长线)有唯一的交点C,证明:|


OC
|<
c2
a

如图,A为椭圆
x2
a2
+
y2
b1
=1(a>b>0)上的一个动点,弦AB、AC分别过焦点F1、F2,当AC垂直于x轴时,恰好有AF1:AF2=3:1.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设


AF1
1


F1B


AF2
2


F2C

①当A点恰为椭圆短轴的一个端点时,求λ12的值;
②当A点为该椭圆上的一个动点时,试判断是λ12否为定值?若是,请证明;若不是,请说明理由.