21、已知|EF|=2c,|EF|=2a(a>c),2EH=EG,2EO=EF,HP•EG=0(G为动点)(a>c).(1)建立适当的平面直角坐标系,求出点P的

21、已知|EF|=2c,|EF|=2a(a>c),2EH=EG,2EO=EF,HP•EG=0(G为动点)(a>c).(1)建立适当的平面直角坐标系,求出点P的

题型:不详难度:来源:
21、已知|


EF
|=2c,|


EF
|=2a(a>c),2


EH
=


EG
,2


EO
=


EF


HP


EG
=0(G为动点)(a>c).
(1)建立适当的平面直角坐标系,求出点P的轨迹方程;
(2)若点P的轨迹上存在两个不同的点A、B,且线段AB的中垂线与EF(或EF的延长线)有唯一的交点C,证明:|


OC
|<
c2
a

答案
(1)|PE|+|PF|=|PG|+|PF|=|FG|=2a(>|EF|),∴点P的轨迹为椭圆
∴轨迹方程为
x2
a2
+
y2
a2-c2
=1

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).A,B的中点M(x0,y0),C(t,0).
当kCM不存在时,显然成立.
当kCM存在时,kCM=
y0
x0-t
.由“点差法”得:kAB=-
a2-c2
a2
x0
y0

∵kAB•kCM=-1.x0=
a2-t
c2
∵|x0|<a∴|
a2-t
c2
|<a∴|t|<
c2
a
即|


OC
|<
c2
a
举一反三
如图,A为椭圆
x2
a2
+
y2
b1
=1(a>b>0)上的一个动点,弦AB、AC分别过焦点F1、F2,当AC垂直于x轴时,恰好有AF1:AF2=3:1.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设


AF1
1


F1B


AF2
2


F2C

①当A点恰为椭圆短轴的一个端点时,求λ12的值;
②当A点为该椭圆上的一个动点时,试判断是λ12否为定值?若是,请证明;若不是,请说明理由.
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倾斜角为60°的一束平行光线,将一个半径为


3
的球投影在水平地面上,形成一个椭圆,则此椭圆的离心率为______.
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设P为椭圆上的动点,则P到直线x+y-6=0的最小距离为(  )
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A.1B.2C.D.
已知椭圆=1(a>b>0),F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,椭圆上总存在点P使得PF1⊥PF2,则椭圆的离心率的取值范围为(  )
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A.[,1)B.(,1)C.(0,D.(0,]
已知F1,F2为椭圆
x2
4
+y2=1
的两个焦点,并且椭圆上点P满足∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积为______.