已知F1,F2为椭圆x24+y2=1的两个焦点,并且椭圆上点P满足∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积为______.

已知F1,F2为椭圆x24+y2=1的两个焦点,并且椭圆上点P满足∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积为______.

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已知F1,F2为椭圆
x2
4
+y2=1
的两个焦点,并且椭圆上点P满足∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积为______.
答案
由椭圆的方程可得a=2,b=1,c=


3

令|F1P|=m、|PF2|=n,由椭圆的定义可得m+n=2a=4 ①,
Rt△F1PF2 中,由勾股定理可得(2c)2=m2+n2
∴m2+n2=12②,
由①②可得m•n=2,
∴△F1PF2的面积是
1
2
m•n=1.
故答案为:1.
举一反三
已知椭圆的标准方程为
x2
6-m
+
y2
m-1
=1

(1)若椭圆的焦点在x轴,求m的取值范围;
(2)试比较m=2与m=3时两个椭圆哪个更扁.
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已知A,B,C为椭圆W:x2+2y2=2上的三个点,O为坐标原点.
(Ⅰ)若A,C所在的直线方程为y=x+1,求AC的长;
(Ⅱ)设P为线段OB上一点,且|OB|=3|OP|,当AC中点恰为点P时,判断△OAC的面积是否为常数,并说明理由.
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椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的一个焦点为F1,若椭圆上存在一个点P,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF1相切于该线段的中点,则椭圆的离心率为______.
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如果椭圆
x2
36
+
y2
9
=1
的弦被点(4,-2)平分,则这条弦所在的直线方程是______.
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已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为e=


2
2
,左、右焦点分别为F1、F2,点P的坐标为(2,


3
),且F2在线段PF1的中垂线上.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)如果圆E:(x-
1
2
2+y2=r2被椭圆C所覆盖,求圆的半径r的最大值.
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