已知A,B,C为椭圆W:x2+2y2=2上的三个点,O为坐标原点.(Ⅰ)若A,C所在的直线方程为y=x+1,求AC的长;(Ⅱ)设P为线段OB上一点,且|OB|=
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已知A,B,C为椭圆W:x2+2y2=2上的三个点,O为坐标原点. (Ⅰ)若A,C所在的直线方程为y=x+1,求AC的长; (Ⅱ)设P为线段OB上一点,且|OB|=3|OP|,当AC中点恰为点P时,判断△OAC的面积是否为常数,并说明理由. |
答案
(Ⅰ)由, 得3x2+4x=0, 解得x=0或x=-, ∴A,C两点的坐标为(0,1)和(-,-), ∴|AC|=. (Ⅱ)①若B是椭圆的右顶点(左顶点一样),则B(,0), ∵|OB|=3|OP|,P在线段OB上, ∴P(,0),求得|AC|=, ∴△OAC的面积等于××=. ②若B不是椭圆的左、右顶点, 设AC:y=kx+m(m≠0),A(x1,y1),C(x2,y2), 由得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0, 则x1+x2=-,x1x2=, ∴AC的中点P的坐标为(-,), ∴B(-,),代入椭圆方程,化简得2k2+1=9m2. 计算|AC|===. ∵点O到AC的距离dO-AC=. ∴△OAC的面积S△OAC=|AC|•dO-AC=ו=. 综上,△OAC面积为常数. |
举一反三
椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点为F1,若椭圆上存在一个点P,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF1相切于该线段的中点,则椭圆的离心率为______. |
如果椭圆+=1的弦被点(4,-2)平分,则这条弦所在的直线方程是______. |
已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为e=,左、右焦点分别为F1、F2,点P的坐标为(2,),且F2在线段PF1的中垂线上. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)如果圆E:(x-)2+y2=r2被椭圆C所覆盖,求圆的半径r的最大值. |
直线l与椭圆+=1相交于两点A,B,弦AB的中点为(-1,1),则直线l的方程为______. |
如图,抛物线形拱桥的顶点距水面4m时,测得拱桥内水面宽为16m;当水面升高3m后,拱桥内水面的宽度为______m.
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