已知抛物线C:y2=4x,点M(m,0)在x轴的正半轴上,过M的直线l与C相交于A、B两点,O为坐标原点.(Ⅰ)若m=1,l的斜率为1,求以AB为直径的圆的方程

已知抛物线C:y2=4x,点M(m,0)在x轴的正半轴上,过M的直线l与C相交于A、B两点,O为坐标原点.(Ⅰ)若m=1,l的斜率为1,求以AB为直径的圆的方程

题型:不详难度:来源:
已知抛物线C:y2=4x,点M(m,0)在x轴的正半轴上,过M的直线l与C相交于A、B两点,O为坐标原点.
(Ⅰ)若m=1,l的斜率为1,求以AB为直径的圆的方程;
(Ⅱ)若存在直线l使得|AM|,|OM|,|MB|成等比数列,求实数m的取值范围.
答案
(Ⅰ)由题意,得M(1,0),直线l的方程为y=x-1.





y=x-1
y2=4x
,得x2-6x+1=0,
设A,B两点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点P的坐标为P(x0,y0),
x1=3+2


2
 x2=3-2


2
 y1=x1-1=2+2


2
 y2=x2-1=2-2


2

故点A(3+2


2
,2+2


2
) B(3-2


2
,2-2


2
) 

所以x0=
x1+x2
2
=3 y0=x0-1=2

故圆心为P(3,2),直径|AB|=


(x1-x2)2+(y1-y2)2
=8

所以以AB为直径的圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16;
(Ⅱ)设A,B两点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),


MB


AM
(λ>0)



AM
=(m-x1,-y1) 


MB
=(x2-m,y2)

所以





x2-m=λ(m-x1)
y2=-λy1

因为点A,B在抛物线C上,
所以y12=4x1,y22=4x2,②
由①②消去x2,y1,y2得λx1=m.
若此直线l使得|AM|,|OM|,|MB|成等比数列,则|OM|2=|MB|•|AM|,
即|OM|2=λ|AM|•|AM|,所以m2=λ[(x1-m)2+y12],
因为y12=4x1,λx1=m,所以m2=
m
x1
[(x1-m)2+4
x 1
]

整理得x12-(3m-4)x1+m2=0,③
因为存在直线l使得|AM|,|OM|,|MB|成等比数列,
所以关于x1的方程③有正根,
因为方程③的两根之积为m2>0,所以只可能有两个正根,
所以





3m-4>0
m2>0
△=(3m-4)2-4m2≥0
,解得m≥4.
故当m≥4时,存在直线l使得|AM|,|OM|,|MB|成等比数列.
举一反三
已知F是抛物线C:y2=4x的焦点,A,B是C上的两个点,线段AB的中点为M(2,2),则△ABF的面积等于______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)的离心率为2,一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同,则双曲线的焦点坐标为______;渐近线方程为______.
题型:不详难度:| 查看答案
给定椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,称圆心在原点O,半径为


a2+b2
的圆是椭圆C的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为F(


2
,0)
,其短轴上的一个端点到F的距离为


3

(I)求椭圆C的方程和其“准圆”方程.(II)点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点,过点P作直线l1,l2,使得l1,l2与椭圆C都只有一个交点,且l1,l2分别交其“准圆”于点M,N.
①当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时,求l1,l2的方程;
②求证:|MN|为定值.
题型:海淀区二模难度:| 查看答案
如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,它的一个顶点为A(0,


2
),且离心率等于


3
2
,过点M(0,2)的直线l与椭圆相交于P,Q不同两点,点N在线段PQ上.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设
|


PM
|
|


PN
|
=
|


MQ
|
|


NQ
|
,试求λ的取值范围.魔方格
题型:不详难度:| 查看答案
过抛物线y2=4x的焦点且斜率为


3
的直线l与抛物线y2=4x交于A、B两点,则|AB|的值为(  )
A.
16
3
B.
8
3
C.
8
3


7
D.
16
3


7
题型:不详难度:| 查看答案
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