设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点,i是过点A与x轴垂直的直线,D是直线i与x轴的交点,点M在直线l上,且满足|DM|=m|DA|(m>0,且m≠1)。当点
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设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点,i是过点A与x轴垂直的直线,D是直线i与x轴的交点,点M在直线l上,且满足|DM|=m|DA|(m>0,且m≠1)。当点
题型:高考真题
难度:
来源:
设A是单位圆x
2
+y
2
=1上的任意一点,i是过点A与x轴垂直的直线,D是直线i与x轴的交点,点M在直线l上,且满足|DM|=m|DA|(m>0,且m≠1)。当点A在圆上运动时,记点M的轨迹为曲线C。
(1)求曲线C的方程,判断曲线C为何种圆锥曲线,并求焦点坐标;
(2)过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点,其中P在第一象限,它在y轴上的射影为点N,直线QN交曲线C于另一点H,是否存在m,使得对任意的k>0,都有PQ⊥PH?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由。
答案
解:(1)如图1,设M(x,y),A(x
0
,
y0
)
∵丨DM丨=m丨DA丨,
∴x=x
0
,|y|=m|y
0
|
∴x
0
=x,|y
0
|= |y|①
∵点A在圆上运动,
∴
②
①代入②即得所求曲线C的方程为
∵m∈(0,1)∪(1,+∞),
∴0<m<1时,曲线C是焦点在x轴上的椭圆,
两焦点坐标分别为(
),
m>1时,曲线C是焦点在y轴上的椭圆,
两焦点坐标分别为(
),
。
(2)如图2、3,∵x
1
∈(0,1),设P(x
1
,y
1
),H(x
2
,y
2
),
则Q(x
2
,y
2
),N(0,y
1
),
∵P,H两点在椭圆C上,
∴
①-②可得
③
∵Q,N,H三点共线,
∴k
QN
=k
QH
,
∴
∴k
PQ
k
PH
=
∵PQ⊥PH,
∴k
PQ
·k
PH
=-1
∴
∵m>0,
∴
故存在
,使得在其对应的椭圆
上,对任意k>0,都有PQ⊥PH。
举一反三
设F
1
,F
2
是椭圆C:
的左、右焦点,A、B分别为其左顶点和上顶点,△BF
1
F
2
是面积为
的正三角形.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过右焦点F
2
的直线l交椭圆C于M,N两点,直线AM、AN分别与已知直线x=4交于点P和Q,试探究以线段PQ为直径的圆与直线l的位置关系.
题型:期末题
难度:
|
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已知椭圆C:
的长轴长为
,离心率
.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若过点B(2,0)的直线l(斜率不等于零)与椭圆C交于不同的两点E、F(E在B、F之间),且△OBE与△OBF的面积之比为
,求直线l的方程.
题型:期末题
难度:
|
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如图所示,已知圆C:(x+1)
2
+y
2
=8,定点A(1,0),M为圆上一动点,点P在AM上,点N在CM上,且满足
,
=0,点N的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(2)过点S(0,
)且斜率为k的动直线l交曲线E于A、B两点,在y轴上是否存在定点G,满足
使四边形NAPB为矩形?若存在,求出G的坐标和四边形NAPB面积的最大值;若不存在,说明理由.
题型:期末题
难度:
|
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如图,椭圆长轴端点为A,B,O为椭圆中心,F为椭圆的右焦点,且
,
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)记椭圆的上顶点为M,直线l交椭圆于P,Q两点,问:是否存在直线l,使点F恰为△PQM的垂心?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
题型:期末题
难度:
|
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已知椭圆
,椭圆C
2
以C
1
的长轴为短轴,且与C
1
有相同的离心率。
(1)求椭圆C
2
的方程;
(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆C
1
和C
2
上,
,求直线AB的方程。
题型:高考真题
难度:
|
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