已知椭圆的两个焦点,且椭圆短轴的两个端点与F2构成正三角形.(I)求椭圆的方程;(Ⅱ)过点(1,0)且与坐标轴不平行的直线l与椭圆交于不同两点P、Q,若在x轴上
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已知椭圆的两个焦点,且椭圆短轴的两个端点与F2构成正三角形.(I)求椭圆的方程;(Ⅱ)过点(1,0)且与坐标轴不平行的直线l与椭圆交于不同两点P、Q,若在x轴上
题型:甘肃省月考题
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来源:
已知椭圆的两个焦点
,且椭圆短轴的两个端点与F
2
构成正三角形.
(I)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点(1,0)且与坐标轴不平行的直线l与椭圆交于不同两点P、Q,若在x轴上存在定点E(m,0),使
恒为定值,求m的值.
答案
解:(I)由题意可得 c=
,tan30°=
=
,∴b=1,∴a=2,
故椭圆的方程为
.
(Ⅱ) 设直线l的方程为 y﹣0=k(x﹣1),即 y=kx﹣k.
代入椭圆的方程化简可得(1+4k
2
)x
2
﹣8k
2
x+4k
2
﹣4=0,
∴x
1
+x
2
=
,x
1
x
2
=
.
∴
=(m﹣x
1
,﹣y
1
)(m﹣x
2
,﹣y
2
)
=(m﹣x
1
)(m﹣x
2
)+y
1
y
2
=(m
2
+k
2
)+(1+k
2
)x
1
x
2
﹣(m+k
2
)(x
1
+x
2
)
=(m
2
+k
2
)+(1+k
2
)
﹣(m+k
2
)
=
恒为定值,
∴
,
∴m=
.
举一反三
已知直线y=﹣x+1与椭圆
=1(a>b>0)相交于A、B两点.
(1)若椭圆的离心率为
,焦距为2,求椭圆的标准方程;
(2)若OA⊥OB(其中O为坐标原点),当椭圆的离率e∈
时,求椭圆的长轴长的最大值.
题型:广东省月考题
难度:
|
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焦点分别为(0,5
)和(0,﹣5
)的椭圆截直线y=3x﹣2所得椭圆的弦的中点的横坐标为
,求此椭圆方程.
题型:江西省月考题
难度:
|
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已知椭圆C:
+
=1(a>b>0)经过点A(1,
),且离心率e=
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点B(﹣1,0)能否作出直线l,使l与椭圆C交于M、N两点,且以MN为直径的圆经过坐标原点O.若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
题型:江西省月考题
难度:
|
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已知F是椭圆
的左焦点,A是椭圆短轴上的一个顶点,椭圆的离心率为
,点B在x轴上,AB⊥AF,A,B,F三点确定的圆C恰好与直线
相切.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)是否存在过F作斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆于M,N两点,P为线段MN的中点,设O为椭圆中心,射线OP交椭圆于点Q,若
,若存在求k的值,若不存在则说明理由.
题型:天津月考题
难度:
|
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已知椭圆
+
=1(a>b>0)的离心率为
,以原点为圆心,椭圆短轴长为半径的圆与y=x+2相切.
(1)求a与b;
(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F
1
和F
2
,直线 l 过F
2
且与x轴垂直,动直线 l
2
与 y 轴垂直,l
2
交 l
1
于点 P.求PF
1
线段垂直平分线与l
2
的交点M的轨迹方程,并说明曲线类型.
题型:新疆自治区月考题
难度:
|
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