已知椭圆的两个焦点，且椭圆短轴的两个端点与F2构成正三角形．（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点（1，0）且与坐标轴不平行的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，若在x轴上

题型：甘肃省月考题难度：来源：

已知椭圆的两个焦点，且椭圆短轴的两个端点与F₂构成正三角形．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点（1，0）且与坐标轴不平行的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，若在x轴上存在定点E（m，0），使恒为定值，求m的值．

答案

解：（I）由题意可得 c=，tan30°==，∴b=1，∴a=2，
故椭圆的方程为．
（Ⅱ） 设直线l的方程为 y﹣0=k（x﹣1），即 y=kx﹣k．
代入椭圆的方程化简可得（1+4k²）x²﹣8k²x+4k²﹣4=0，
∴x₁+x₂=，x₁x₂=．
∴=（m﹣x₁，﹣y₁ ）（m﹣x₂，﹣y₂）
=（m﹣x₁）（m﹣x₂）+y₁y₂
=（m²+k²）+（1+k²）x₁x₂﹣（m+k²）（x₁+x₂）
=（m²+k²）+（1+k²）﹣（m+k²）
=  恒为定值，
∴，
∴m=．