设F1、F2分别是椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若在直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆的离心率的取值范围是________．

题型：不详难度：来源：

设F₁、F₂分别是椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若在直线x＝上存在点P，使线段PF₁的中垂线过点F₂，则椭圆的离心率的取值范围是________．

答案

≤e＜1

解析

设P，线段F₁P的中点Q的坐标为，则直线F₁P的斜率kF₁P＝，当直线QF₂的斜率存在时，设直线QF₂的斜率为kQF₂＝(b²－2c²≠0)，由kF₁P·kQF₂＝－1得y²＝≥0，但注意到b²－2c²≠0，故2c²－b²＞0，即3c²－a²＞0，即e²＞，故＜e＜1.当直线QF₂的斜率不存在时，y＝0，F₂为线段PF₁的中点．由－c＝2c得e＝，综上得≤e＜1.